En matemáticas , el conductor de Artin es un número o ideal asociado a un carácter de un grupo de Galois de un cuerpo local o global , introducido por Emil Artin (1930, 1931) como una expresión que aparece en la ecuación funcional de una L-función de Artin .
Supóngase que L es una extensión finita de Galois del cuerpo local K , con grupo de Galois G . Si es un carácter de G , entonces el conductor de Artin de es el número
donde G i es el i -ésimo grupo de ramificación (en numeración inferior ), de orden g i , y χ( G i ) es el valor medio de en G i . [1] Por un resultado de Artin, el conductor local es un entero. [2] [3] Heurísticamente, el conductor de Artin mide qué tan lejos está la acción de los grupos de ramificación superiores de ser trivial. En particular, si χ no está ramificado, entonces su conductor de Artin es cero. Por lo tanto, si L no está ramificado sobre K , entonces los conductores de Artin de todos los χ son cero.
El invariante salvaje [3] o director cisne [4] del personaje es
en otras palabras, la suma de los términos de orden superior con i > 0.
El conductor de Artin global de una representación del grupo de Galois G de una extensión finita L / K de campos globales es un ideal de K , definido como
donde el producto es sobre los primos p de K , y f (χ, p ) es el conductor de Artin local de la restricción de al grupo de descomposición de algún primo de L que se encuentra sobre p . [2] Dado que el conductor de Artin local es cero en primos no ramificados, el producto anterior solo necesita tomarse sobre primos que se ramifican en L / K .
Supóngase que L es una extensión finita de Galois del cuerpo local K , con grupo de Galois G . El carácter de Artin a G de G es el carácter
y la representación Artin A G es la representación lineal compleja de G con este carácter. Weil (1946) pidió una construcción directa de la representación Artin. Serre (1960) mostró que la representación Artin puede realizarse sobre el cuerpo local Q l , para cualquier primo l no igual a la característica de residuo p . Fontaine (1971) mostró que puede realizarse sobre el anillo correspondiente de vectores de Witt. En general, no puede realizarse sobre los racionales o sobre el cuerpo local Q p , lo que sugiere que no hay una manera fácil de construir la representación Artin explícitamente. [5]
El carácter cisne sw G viene dado por
donde r g es el carácter de la representación regular y 1 es el carácter de la representación trivial. [6] El carácter Swan es el carácter de una representación de G . Swan (1963) demostró que existe una única representación proyectiva de G sobre los enteros l -ádicos con carácter el carácter Swan.
El conductor de Artin aparece en la fórmula conductor-discriminante para el discriminante de un campo global. [5]
El nivel óptimo en la conjetura de modularidad de Serre se expresa en términos del conductor de Artin.
El conductor de Artin aparece en la ecuación funcional de la función L de Artin .
Las representaciones de Artin y Swan se utilizan para definir el conductor de una curva elíptica o variedad abeliana.
