lengua de arnold

Fenómeno en matemáticas

Número de rotación para diferentes valores de dos parámetros del mapa circular: Ω en el eje x y K en el eje y . Algunas formas de lengua son visibles.

En matemáticas , particularmente en sistemas dinámicos , las lenguas de Arnold (llamadas así en honor a Vladimir Arnold ) ^{[1] [2]} son ​​un fenómeno pictórico que ocurre al visualizar cómo el número de rotación de un sistema dinámico, u otra propiedad invariante relacionada con el mismo, cambia según dos o más de sus parámetros. Se ha observado que las regiones de número de rotación constante, para algunos sistemas dinámicos, forman formas geométricas que se asemejan a lenguas, en cuyo caso se denominan lenguas de Arnold. ^[3]

Las lenguas de Arnold se observan en una gran variedad de fenómenos naturales que involucran cantidades oscilantes, como la concentración de enzimas y sustratos en procesos biológicos ^[4] y ondas eléctricas cardíacas . A veces, la frecuencia de oscilación depende o está restringida (es decir, bloqueada en fase o en modo , en algunos contextos) en función de alguna cantidad, y suele ser interesante estudiar esta relación. Por ejemplo, la aparición de un tumor desencadena en la zona una serie de oscilaciones de sustancias (principalmente proteínas) que interactúan entre sí; Las simulaciones muestran que estas interacciones hacen que aparezcan lenguas de Arnold, es decir, la frecuencia de algunas oscilaciones limita a las otras, y esto puede usarse para controlar el crecimiento del tumor. ^[3]

Otros ejemplos donde se pueden encontrar lenguas de Arnold incluyen la inarmonicidad de los instrumentos musicales, la resonancia orbital y el bloqueo de marea de lunas en órbita, el bloqueo de modo en fibra óptica y bucles de bloqueo de fase y otros osciladores electrónicos , así como en los ritmos cardíacos , arritmias cardíacas y ciclo celular . ^[5]

Uno de los modelos físicos más simples que presenta bloqueo de modo consta de dos discos giratorios conectados por un resorte débil. A un disco se le permite girar libremente y el otro es impulsado por un motor. El bloqueo de modo ocurre cuando el disco que gira libremente gira a una frecuencia que es un múltiplo racional de la del rotador impulsado.

El modelo matemático más simple que presenta bloqueo de modo es el mapa circular, que intenta capturar el movimiento de los discos giratorios en intervalos de tiempo discretos.

Mapa circular estándar

Diagrama de bifurcación para mantenido fijo en . va de abajo hacia arriba, y las órbitas se muestran en el intervalo en lugar de . Las regiones negras corresponden a las lenguas Arnold. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle [-0.5,0.5]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Las lenguas de Arnold aparecen con mayor frecuencia al estudiar la interacción entre osciladores , particularmente en el caso en que un oscilador impulsa a otro. Es decir, un oscilador depende del otro pero no al revés, por lo que no se influyen mutuamente como ocurre en los modelos de Kuramoto , por ejemplo. Este es un caso particular de osciladores impulsados , con una fuerza impulsora que tiene un comportamiento periódico. Como ejemplo práctico, las células del corazón (el oscilador externo) producen señales eléctricas periódicas para estimular las contracciones del corazón (el oscilador impulsado); Aquí, podría ser útil determinar la relación entre la frecuencia de los osciladores, posiblemente para diseñar mejores marcapasos artificiales . La familia de mapas circulares sirve como modelo matemático útil para este fenómeno biológico, así como para muchos otros. ^[6]

La familia de aplicaciones circulares son funciones (o endomorfismos ) del círculo respecto de sí mismo. Es matemáticamente más sencillo considerar un punto en el círculo como un punto en la línea real que debe interpretarse módulo , representando el ángulo en el que se ubica el punto en el círculo. Cuando el módulo se toma con un valor distinto de , el resultado aún representa un ángulo, pero debe normalizarse para que se pueda representar todo el rango. Teniendo esto en cuenta, la familia de mapas circulares viene dada por: ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

donde es la frecuencia "natural" del oscilador y es una función periódica que produce la influencia causada por el oscilador externo. Tenga en cuenta que si, en general, la partícula simplemente camina alrededor del círculo unidades a la vez; en particular, si es irracional el mapa se reduce a una rotación irracional . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(\theta )=\theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

El mapa circular particular estudiado originalmente por Arnold, ^[8] y que continúa resultando útil incluso hoy en día, es:

${\displaystyle \theta _{i+1}=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i})}$

donde se llama fuerza de acoplamiento y debe interpretarse como módulo . Este mapa muestra comportamientos muy diversos dependiendo de los parámetros y ; si fijamos y variamos se obtiene el diagrama de bifurcación alrededor de este párrafo, donde podemos observar órbitas periódicas , bifurcaciones con duplicación de períodos así como posibles comportamientos caóticos . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =1/3}$ ${\displaystyle K}$

Derivando el mapa circular

Representación del modelo sencillo donde el mapa circular surge "naturalmente". La línea roja es y se restablece a la línea negra sinusoidal cada vez que llega a cero. ${\displaystyle y(t)}$

Otra forma de ver el mapa circular es la siguiente. Considere una función que disminuye linealmente con la pendiente . Una vez que llega a cero, su valor se restablece a un cierto valor oscilante, descrito por una función . Ahora nos interesa la secuencia de tiempos en los que y(t) llega a cero. ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z(t)=c+b\sin(2\pi t)}$ ${\displaystyle \{t_{n}\}}$

Este modelo nos dice que en algún momento es válido que . A partir de este punto, disminuirá linealmente hasta , donde la función es cero, obteniendo así: ${\displaystyle t_{n-1}}$ ${\displaystyle y(t_{n-1})=c+b\sin(2\pi t_{n-1})}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=y(t_{n-1})-a\cdot (t_{n}-t_{n-1})\\[0.5em]0&=\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]-at_{n}+at_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&={\frac {1}{a}}\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]+t_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&=t_{n-1}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b}{a}}\sin(2\pi t_{n-1})\end{aligned}}}$

y eligiendo y obtenemos el mapa circular comentado anteriormente: ${\displaystyle \Omega =c/a}$ ${\displaystyle K=2\pi b/a}$

${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi t_{n-1}).}$

Glass, L. (2001) sostiene que este modelo simple es aplicable a algunos sistemas biológicos, como la regulación de la concentración de sustancias en las células o la sangre, donde lo anterior representa la concentración de una determinada sustancia. ${\displaystyle y(t)}$

En este modelo, un bloqueo de fase significaría que se restablece exactamente veces cada período de la sinusoidal . El número de rotación, a su vez, sería el cociente . ^[7] ${\displaystyle N:M}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle z(t)}$ ${\displaystyle N/M}$

Propiedades

Considere la familia general de endomorfismos circulares:

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

donde, para el mapa circular estándar, tenemos eso . En ocasiones también será conveniente representar el mapa circular en términos de un mapeo : ${\displaystyle g(\theta )=\theta +(K/2\pi )\sin(2\pi \theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle \theta _{i+1}=f(\theta _{i})=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

Procedemos ahora a enumerar algunas propiedades interesantes de estos endomorfismos circulares.

P1. aumenta monótonamente para , por lo que para estos valores de las iteraciones solo avanzan en el círculo, nunca hacia atrás. Para ver esto, observe que la derivada de es: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K<1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(\theta )=1+K\cos(2\pi \theta )}$

lo cual es positivo siempre que . ${\displaystyle K<1}$

P2. Al expandir la relación de recurrencia, se obtiene una fórmula para : ${\displaystyle \theta _{n}}$

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n-1}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

P3. Supongamos que , entonces, son puntos fijos periódicos del período . Dado que el seno oscila a una frecuencia de 1 Hz, el número de oscilaciones del seno por ciclo de será , caracterizando así un bloqueo de fase de . ^[7] ${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}{\bmod {1}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle M=(\theta _{n}-\theta _{0})\cdot 1}$ ${\displaystyle n:M}$

P4. Para cualquiera , es cierto eso , lo que a su vez significa eso . Debido a esto, para muchos propósitos no importa si las iteraciones se toman como módulo o no. ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta )+p}$ ${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta ){\bmod {1}}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle 1}$

P5 (simetría traslacional). ^{[9] [7]} Supongamos que para un determinado momento hay un bloqueo de fase en el sistema. Entonces, con un número entero , habría un bloqueo de fase. Esto también significa que si es una órbita periódica para el parámetro , entonces también lo es para cualquier . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n:M}$ ${\displaystyle \Omega '=\Omega +p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n:(M+np)}$ ${\displaystyle \theta _{0},\dots ,\theta _{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega '=\Omega +p,p\in \mathbb {N} }$

Para ver esto, observe que la relación de recurrencia en la propiedad 2 sería:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n}'&=\theta _{0}+n\Omega '+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{0}+n(\Omega +p)+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{n}+np,\end{aligned}}}$

Entonces, debido al bloqueo de fase original, ahora tendríamos . ${\displaystyle \theta _{n}-\theta _{0}=M}$ ${\displaystyle \theta _{n}'-\theta _{0}=\theta _{n}+np-\theta _{0}=M+np}$

P6. Porque habrá bloqueo de fase siempre que sea racional. Además, sea , entonces el bloqueo de fase es . ${\displaystyle K=0}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =p/q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle q:p}$

Considerando la relación de recurrencia en la propiedad 2, un racional implica: ${\displaystyle \Omega =p/q}$

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n{\frac {p}{q}}}$

y el módulo de igualdad se mantendrá solo cuando sea un número entero, y el primero que lo satisfaga es . Como consecuencia: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n(p/q)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=q}$

${\displaystyle \theta _{q}=\theta _{0}+p}$

${\displaystyle (\theta _{q}-\theta _{0})=p}$

es decir, un bloqueo de fase. ${\displaystyle q:p}$

Para irracional (que conduce a una rotación irracional ), sería necesario tener para números enteros y , pero entonces y es racional, lo que contradice la hipótesis inicial. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n\Omega =k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega =k/n}$ ${\displaystyle \Omega }$

Bloqueo de modo

Algunas de las lenguas de Arnold para el mapa circular estándar, ε  =k/2 π

Número de rotación en función de Ω con K mantenido constante en K  = 1

Para valores pequeños a intermedios de K (es decir, en el rango de K  = 0 a aproximadamente K  = 1) y ciertos valores de Ω, el mapa exhibe un fenómeno llamado bloqueo de modo o bloqueo de fase . En una región de fase bloqueada, los valores θ _n avanzan esencialmente como un múltiplo racional de n , aunque pueden hacerlo caóticamente a pequeña escala.

El comportamiento limitante en las regiones de modo bloqueado viene dado por el número de rotación .

${\displaystyle \omega =\lim _{n\to \infty }{\frac {\theta _{n}}{n}}.}$^[10]

que a veces también se denomina número de bobinado del mapa .

Las regiones de bloqueo de fase, o lenguas de Arnold, se ilustran en amarillo en la figura de la derecha. Cada una de estas regiones en forma de V aterriza en un valor racional Ω = pag/qen el límite de K  → 0. Los valores de ( K ,Ω) en una de estas regiones darán como resultado un movimiento tal que el número de rotación ω  = pag/q. Por ejemplo, todos los valores de ( K ,Ω) en la gran región en forma de V en la parte inferior central de la figura corresponden a un número de rotación de ω  = 1/2. Una razón por la que se utiliza el término "bloqueo" es que los valores individuales θ _n pueden verse perturbados por perturbaciones aleatorias bastante grandes (hasta el ancho de la lengüeta, para un valor dado de K ), sin alterar el número de rotación límite. Es decir, la secuencia permanece "fijada" a la señal, a pesar de la adición de ruido significativo a la serie θ _n . Esta capacidad de "bloquearse" en presencia de ruido es fundamental para la utilidad del circuito electrónico de bucle de bloqueo de fase. ^{[ cita necesaria ]}

Hay una región de modo bloqueado para cada número racional.pag/q. A veces se dice que el mapa circular mapea los racionales, un conjunto de medida cero en K  = 0, a un conjunto de medidas distintas de cero para K  ≠ 0. Las lenguas más grandes, ordenadas por tamaño, ocurren en las fracciones de Farey . Fijando K y tomando una sección transversal a través de esta imagen, de modo que ω se represente en función de Ω, se obtiene la "escalera del diablo", una forma que es genéricamente similar a la función de Cantor . Se puede demostrar que para K<1 , el mapa circular es un difeomorfismo, solo existe una solución estable. Sin embargo, como K>1 esto ya no es válido y se pueden encontrar regiones de dos regiones de bloqueo superpuestas. Para el mapa circular se puede mostrar que en esta región, no se pueden superponer más de dos regiones de bloqueo en modo estable, pero se desconoce si existe algún límite en el número de lenguas Arnold superpuestas para sistemas sincronizados generales. ^{[ cita necesaria ]}

El mapa circular también muestra rutas subarmónicas hacia el caos, es decir, duplicación de períodos de la forma 3, 6, 12, 24,...

Mapa estándar de Chirikov

El mapa estándar de Chirikov está relacionado con el mapa circular y tiene relaciones de recurrencia similares, que pueden escribirse como

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n+1}&=\theta _{n}+p_{n}+{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n})\\p_{n+1}&=\theta _{n+1}-\theta _{n}\end{aligned}}}$

con ambas iteraciones tomadas en módulo 1. En esencia, el mapa estándar introduce un impulso p _n al que se le permite variar dinámicamente, en lugar de ser forzado a fijarse, como ocurre en el mapa circular. El mapa estándar se estudia en física mediante el rotor pateado hamiltoniano .

Aplicaciones

Las lenguas de Arnold se han aplicado al estudio de

• Ritmos cardíacos - ver Glass, L. et al. (1983) y McGuinness, M. et al. (2004)
• Sincronización de osciladores de diodo túnel resonante ^[11]

Galería

Ver también

• palabra sturmiana

Notas

1. Arnold'd, VI (1961). "Pequeños denominadores. I. Trazando el círculo sobre sí mismo". Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya . 25 (1): 21–86.La sección 12 de la página 78 tiene una figura que muestra las lenguas de Arnold.
2. Traducción al inglés del artículo de Arnold: S. Adjan; VI Arnold; SP Demuškin; Ju. S. Gurevic; SS Kemhadze; NI Klímov; Ju. V. Linnik; AV Malyšev; PS Novikov; DA Suprunenko; VA Tartakovskiĭ; V. Tašbaev. Once artículos sobre teoría de números, álgebra y funciones de una variable compleja. vol. 46. ​​Serie de traducciones 2 de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas.
3. Jensen, MH; Krishna, S. (2012). "Inducir bloqueo de fase y caos en osciladores celulares mediante la modulación de los estímulos impulsores". Cartas FEBS . 586 (11): 1664-1668. arXiv : 1112.6093 . doi :10.1016/j.febslet.2012.04.044. PMID  22673576. S2CID  2959093.
4. Gerard, C.; Goldbeter, A. (2012). "El ciclo celular es un ciclo límite". Modelización matemática de fenómenos naturales . 7 (6): 126–166. doi : 10.1051/mmnp/20127607 .
5. Nakao, M.; Enkhkhudulmur, TE; Katayama, N.; Karashima, A. (2014). "Entrenabilidad de modelos de osciladores del ciclo celular con crecimiento exponencial de la masa celular" . Jornada de la Sociedad de Ingeniería en Medicina y Biología. IEEE. págs. 6826–6829.
6. Vidrio, L. (2001). "Sincronización y procesos rítmicos en fisiología". Naturaleza . 410 (6825): 277–284. Código Bib :2001Natur.410..277G. doi :10.1038/35065745. PMID  11258383. S2CID  4379463.
7. Vidrio, L .; Pérez, R. (1982). "Estructura fina de bloqueo de fase". Cartas de revisión física . 48 (26): 1772. Código bibliográfico : 1982PhRvL..48.1772G. doi :10.1103/PhysRevLett.48.1772.
8. Lo estudió usando coseno en lugar de seno; véase la página 78 de Arnold'd, VI (1961).
9. Guevara, señor; Vidrio, L. (1982). "Bloqueo de fase, bifurcaciones de duplicación de períodos y caos en un modelo matemático de un oscilador accionado periódicamente: una teoría para el arrastre de osciladores biológicos y la generación de arritmias cardíacas". Revista de biología matemática . 14 (1): 1–23. CiteSeerX 10.1.1.476.8649 . doi :10.1007/BF02154750. PMID  7077182. S2CID  2273911. 
10. Weisstein, Eric. "Número de bobinado del mapa". MundoMatemático . Consultado el 20 de junio de 2016 .
11. Romeira, B.; Figueiredo, JM; Ironside, CN; Ligero, T. (2009). "Dinámica caótica en osciladores optoelectrónicos controlados por voltaje de túnel resonante". Cartas de tecnología fotónica IEEE . 21 (24): 1819–1821. Código Bib : 2009IPTL...21.1819R. doi :10.1109/LPT.2009.2034129. S2CID  41327316.

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Mapa circular". MundoMatemático .
• Boyland, PL (1986). "Bifurcaciones de mapas circulares: lenguas Arnol'd, biestabilidad e intervalos de rotación". Comunicaciones en Física Matemática . 106 (3): 353–381. Código bibliográfico : 1986CMaPh.106..353B. doi :10.1007/BF01207252. S2CID  121088353.
• Gilmore, R.; Lefranc, M. (2002). La topología del caos: Alicia en Stretch y Squeezeland . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-40816--6.- Proporciona una breve revisión de los hechos básicos en la sección 2.12 .
• Vidrio, L .; Guevara, señor; Más chillón, A.; Pérez, R. (1983). "Bifurcación y caos en un oscilador cardíaco estimulado periódicamente". Physica D: Fenómenos no lineales . 7 (1–3): 89–101. Código bibliográfico : 1983PhyD....7...89G. doi :10.1016/0167-2789(83)90119-7.- Realiza un análisis detallado de los ritmos cardíacos del corazón en el contexto del mapa circular.
• McGuinness, M.; Hong, Y.; Galletly, D.; Larsen, P. (2004). "Lenguas de Arnold en los sistemas cardiorrespiratorios humanos". Caos . 14 (1): 1–6. Bibcode : 2004 Caos..14....1M. doi :10.1063/1.1620990. PMID  15003038.

enlaces externos

• Mapa circular con subprograma Java interactivo