Mapa estándar

Mapa caótico que preserva el área a partir de un cuadrado con un lado 2π sobre sí mismo

El espacio de fases del mapa estándar con la variación del parámetro de 0 a 5,19 ( en los ejes y, en los ejes x). Nótese la aparición de una zona "punteada", una señal de comportamiento caótico . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$

Órbitas del mapa estándar para K  = 0,6.

Órbitas del mapa estándar para K  = 0,971635.

Órbitas del mapa estándar para K  = 1,2.

Órbitas del mapa estándar para K  = 2,0. La gran región verde es la principal región caótica del mapa.

Una única órbita del mapa estándar para K = 2,0. Primer plano ampliado centrado en , p  = 0,666, con una relación anchura/altura total de 0,02. Nótese la distribución extremadamente uniforme de la órbita. ${\displaystyle \theta =0.282}$

El mapa estándar (también conocido como mapa de Chirikov-Taylor o como mapa estándar de Chirikov ) es un mapa caótico que preserva el área a partir de un cuadrado con un lado sobre sí mismo. ^[1] Se construye mediante una superficie de Poincaré de la sección del rotador pateado y se define por: ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+K\sin(\theta _{n})}$

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}}$

donde y se toman módulo . ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Las propiedades del caos del mapa estándar fueron establecidas por Boris Chirikov en 1969.

Modelo físico

Este mapa describe la superficie de Poincaré de la sección del movimiento de un sistema mecánico simple conocido como rotador pateado . El rotador pateado consiste en un palo que está libre de la fuerza gravitatoria, que puede girar sin fricción en un plano alrededor de un eje ubicado en una de sus puntas, y que es pateado periódicamente en la otra punta.

El mapa estándar es una superficie de sección aplicada mediante una proyección estroboscópica sobre las variables del rotador pateado. ^[1] Las variables y determinan respectivamente la posición angular del palo y su momento angular después de la n -ésima patada. La constante K mide la intensidad de las patadas sobre el rotador pateado. ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle p_{n}}$

El rotador con patadas se aproxima a los sistemas estudiados en los campos de la mecánica de partículas, la física de aceleradores , la física del plasma y la física del estado sólido . Por ejemplo, los aceleradores de partículas circulares aceleran las partículas aplicando patadas periódicas, a medida que circulan en el tubo del haz. Por lo tanto, la estructura del haz puede ser aproximada por el rotor con patadas. Sin embargo, este mapa es interesante desde un punto de vista fundamental en física y matemáticas porque es un modelo muy simple de un sistema conservativo que muestra caos hamiltoniano . Por lo tanto, es útil estudiar el desarrollo del caos en este tipo de sistema.

Propiedades principales

El mapa es lineal y solo son posibles órbitas periódicas y cuasiperiódicas. Cuando se trazan en el espacio de fases (el plano θ– p ), las órbitas periódicas aparecen como curvas cerradas y las órbitas cuasiperiódicas como collares de curvas cerradas cuyos centros se encuentran en otra curva cerrada más grande. El tipo de órbita que se observa depende de las condiciones iniciales del mapa. ${\displaystyle K=0}$

La no linealidad del mapa aumenta con K y, con ella, la posibilidad de observar dinámicas caóticas para condiciones iniciales apropiadas. Esto se ilustra en la figura, que muestra una colección de diferentes órbitas permitidas para el mapa estándar para varios valores de . Todas las órbitas mostradas son periódicas o cuasiperiódicas, con la excepción de la verde que es caótica y se desarrolla en una gran región del espacio de fases como un conjunto aparentemente aleatorio de puntos. Particularmente notable es la extrema uniformidad de la distribución en la región caótica, aunque esto puede ser engañoso: incluso dentro de las regiones caóticas, hay un número infinito de islas cada vez más pequeñas que nunca se visitan durante la iteración, como se muestra en el primer plano. ${\displaystyle K>0}$

Mapa circular

El mapa estándar está relacionado con el mapa circular , que tiene una única ecuación iterada similar:

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+\Omega -K\sin(\theta _{n})}$

En comparación con

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n}+K\sin(\theta _{n})}$

${\displaystyle p_{n+1}=\theta _{n+1}-\theta _{n}}$

En el caso del mapa estándar, las ecuaciones se reordenaron para enfatizar la similitud. En esencia, el mapa circular fuerza el momento a una constante.

Véase también

• Teorema de Ushiki

Notas

1. Ott, Edward (2002). Caos en sistemas dinámicos . Cambridge University Press, Nueva York. ISBN 0-521-01084-5.

Referencias

• Chirikov, BV Investigación sobre la teoría de la resonancia no lineal y la estocasticidad . Preimpresión N 267, Instituto de Física Nuclear, Novosibirsk (1969) (en ruso) [Traducción al inglés, CERN Trans. 71 - 40, Ginebra, octubre (1971), Traducido por ATSanders].enlace
• Chirikov, BV Una inestabilidad universal de sistemas osciladores multidimensionales . Phys. Rep. v.52. p.263 (1979) Elsevier, Amsterdam.
• Lichtenberg, AJ y Lieberman, MA (1992). Dinámica regular y caótica . Springer, Berlín. ISBN 978-0-387-97745-4.Enlace de Springer
• Ott, Edward (2002). Caos en sistemas dinámicos . Cambridge University Press, Nueva York. ISBN 0-521-01084-5.
• Sprott, Julien Clinton (2003). Caos y análisis de series temporales . Oxford University Press. ISBN 0-19-850840-9.

Enlaces externos

• Mapa estándar en MathWorld
• Mapa estándar de Chirikov en Scholarpedia
• Sitio web dedicado a Boris Chirikov
• Applet interactivo de Java que visualiza las órbitas del mapa estándar, por Achim Luhn
• Aplicación para Mac para el mapa estándar, por James Meiss
• Mapa estándar interactivo de la aplicación Javascript en experiencias.math.cnrs.fr