Mapa estándar

Mapa caótico que preserva el área de un cuadrado con lado 2π sobre sí mismo

El espacio de fases del mapa estándar con la variación del parámetro de 0 a 5,19 ( en los ejes y, en los ejes x). Observe la aparición de una zona "punteada", una firma de comportamiento caótico . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$

Órbitas del mapa estándar para K  = 0,6.

Órbitas del mapa estándar para K  = 0,971635.

Órbitas del mapa estándar para K  = 1,2.

Órbitas del mapa estándar para K  = 2,0. La gran región verde es la principal región caótica del mapa.

Una órbita única del mapa estándar para K =2,0. Primer plano ampliado centrado en , p  = 0,666, de ancho/alto total 0,02. Obsérvese la distribución extremadamente uniforme de la órbita. ${\displaystyle \theta =0.282}$

El mapa estándar (también conocido como mapa de Chirikov-Taylor o mapa estándar de Chirikov ) es un mapa caótico que preserva el área a partir de un cuadrado con un lado sobre sí mismo. ^[1] Está construido por la superficie de sección de Poincaré del rotador pateado , y está definido por: ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+K\sin(\theta _{n})}$

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}}$

donde y se toman módulo . ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Las propiedades del caos del mapa estándar fueron establecidas por Boris Chirikov en 1969.

Modelo físico

Este mapa describe la superficie de sección de Poincaré del movimiento de un sistema mecánico simple conocido como rotador pateado . El rotador pateado consiste en un palo libre de la fuerza gravitacional, que puede girar sin fricción en un plano alrededor de un eje ubicado en una de sus puntas, y que periódicamente es pateado en la otra punta.

El mapa estándar es una superficie de sección aplicada mediante una proyección estroboscópica sobre las variables del rotador pateado. ^[1] Las variables y determinan respectivamente la posición angular del palo y su momento angular después de la enésima patada. La constante K mide la intensidad de las patadas sobre el rotador pateado. ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle p_{n}}$

El rotador impulsado se aproxima a los sistemas estudiados en los campos de la mecánica de partículas, la física de aceleradores , la física del plasma y la física del estado sólido . Por ejemplo, los aceleradores de partículas circulares aceleran las partículas aplicando patadas periódicas mientras circulan por el tubo del haz. Por tanto, la estructura de la viga puede aproximarse mediante el rotor impulsado. Sin embargo, este mapa es interesante desde un punto de vista fundamental en física y matemáticas porque es un modelo muy simple de un sistema conservador que muestra el caos hamiltoniano . Por tanto, es útil estudiar el desarrollo del caos en este tipo de sistema.

Propiedades principales

Porque el mapa es lineal y sólo son posibles órbitas periódicas y cuasiperiódicas. Cuando se trazan en el espacio de fases (el plano θ- p ), las órbitas periódicas aparecen como curvas cerradas y las órbitas cuasiperiódicas como collares de curvas cerradas cuyos centros se encuentran en otra curva cerrada más grande. El tipo de órbita que se observa depende de las condiciones iniciales del mapa. ${\displaystyle K=0}$

La no linealidad del mapa aumenta con K y con ella la posibilidad de observar dinámicas caóticas para condiciones iniciales apropiadas. Esto se ilustra en la figura, que muestra una colección de diferentes órbitas permitidas en el mapa estándar para varios valores de . Todas las órbitas mostradas son periódicas o cuasiperiódicas, a excepción de la verde que es caótica y se desarrolla en una gran región del espacio de fases como un conjunto de puntos aparentemente aleatorio. Particularmente notable es la extrema uniformidad de la distribución en la región caótica, aunque esto puede ser engañoso: incluso dentro de las regiones caóticas, hay un número infinito de islas cada vez más pequeñas que nunca son visitadas durante la iteración, como se muestra en el primer plano. ${\displaystyle K>0}$

mapa circular

El mapa estándar está relacionado con el mapa circular , que tiene una única ecuación iterada similar:

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+\Omega -K\sin(\theta _{n})}$

en comparación con

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n}+K\sin(\theta _{n})}$

${\displaystyle p_{n+1}=\theta _{n+1}-\theta _{n}}$

para el mapa estándar, las ecuaciones se reordenaron para enfatizar la similitud. En esencia, el mapa circular fuerza el impulso a una constante.

Ver también

• teorema de ushiki

Notas

1. Ott, Edward (2002). Caos en sistemas dinámicos . Cambridge University Press Nueva York. ISBN 0-521-01084-5.

Referencias

• Chirikov, BV Investigación sobre la teoría de la resonancia no lineal y la estocasticidad . Preimpresión N 267, Instituto de Física Nuclear, Novosibirsk (1969) (en ruso) [Engl. Traducción, traducción del CERN. 71 - 40, Ginebra, octubre (1971), traducido por ATSanders].enlace
• Chirikov, BV Una inestabilidad universal de sistemas osciladores multidimensionales . Física. Rep.v.52. p.263 (1979) Elsvier, Ámsterdam.
• Lichtenberg, AJ y Lieberman, MA (1992). Dinámica regular y caótica . Springer, Berlín. ISBN 978-0-387-97745-4.Enlace Springer
• Ott, Eduardo (2002). Caos en sistemas dinámicos . Cambridge University Press Nueva York. ISBN 0-521-01084-5.
• Sprott, Julien Clinton (2003). Análisis de caos y series de tiempo . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-850840-9.

enlaces externos

• Mapa estándar en MathWorld
• Mapa estándar de Chirikov en Scholarpedia
• Sitio web dedicado a Boris Chirikov
• Applet Java interactivo que visualiza las órbitas del mapa estándar, por Achim Luhn
• Aplicación Mac para el mapa estándar, por James Meiss
• Mapa estándar interactivo del subprograma Javascript en experiencias.math.cnrs.fr