Rotador pateado

Retratos de fase (p vs. x) del rotor clásico con patadas a diferentes intensidades de patadas. La fila superior muestra, de izquierda a derecha, K = 0,5, 0,971635, 1,3. La fila inferior muestra, de izquierda a derecha, K = 2,1, 5,0, 10,0. El retrato de fase en el límite caótico es el gráfico superior central, con K _C = 0,971635. En y por encima de K _C aparecen regiones de trayectorias uniformes, granuladas y cuasialeatorias que finalmente consumen todo el gráfico, lo que indica caos.

El rotador pateado , también escrito como rotor pateado , es un modelo paradigmático tanto para el caos hamiltoniano (el estudio del caos en sistemas hamiltonianos ) como para el caos cuántico . Describe una varilla que gira libremente (con un momento de inercia ) en un campo "similar a la gravitación" no homogéneo que se activa periódicamente en pulsos cortos. El modelo está descrito por el hamiltoniano ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\theta ,p_{\theta },t)={\frac {p_{\theta }^{2}}{2I}}+K\cos \theta \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {t}{T}}-n\right)}$,

donde es la posición angular del palo ( corresponde a la posición del rotador en reposo), es el momento conjugado de , es la fuerza de la patada, es el período de la patada y es la función delta de Dirac . ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle p_{\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \textstyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \textstyle \delta }$

Propiedades clasicas

Dinámica estroboscópica

Las ecuaciones de movimiento del rotador pateado escriben Estas ecuaciones muestran que entre dos patadas consecutivas, el rotador simplemente se mueve libremente: el momento se conserva y la posición angular crece linealmente en el tiempo. Por otro lado, durante cada patada, el momento salta abruptamente en una cantidad , donde es la posición angular cerca de la patada. La dinámica del rotador pateado puede describirse así mediante el mapa discreto ^[1] donde y son las coordenadas canónicas en el tiempo , justo antes de la -ésima patada. Suele ser más conveniente introducir un momento adimensional , tiempo y fuerza de patada para reducir la dinámica al mapa de un solo parámetro conocido como mapa estándar de Chirikov , con la salvedad de que no es periódico como en el mapa estándar. Sin embargo, se puede ver directamente que dos rotadores con la misma posición angular inicial pero un momento adimensional desplazado y (con un entero arbitrario) tendrán exactamente la misma dinámica estroboscópica, pero con un momento adimensional desplazado en cualquier momento por (esta es la razón por la cual los retratos de fase estroboscópicos del rotador pateado generalmente se muestran en una sola celda de momento ). $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}={\frac {p}{I}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \theta }}=K\sin \theta \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {t}{T}}-n\right)}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle KT\sin \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+KT\sin \theta _{n}\quad {\text{and}}\quad \theta _{n+1}=\theta _{n}+{\frac {T}{I}}p_{n+1}}$$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle t=nT^{-}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle p\rightarrow p/{\frac {I}{T}}}$ ${\textstyle t\rightarrow t/T}$ ${\textstyle K\rightarrow K/{\frac {I}{T^{2}}}}$ $${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+K\sin \theta _{n}\quad {\text{and}}\quad \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}}$$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\textstyle p_{0}+2\pi l}$ ${\displaystyle l}$ ${\textstyle 2\pi l}$ ${\textstyle p\in [-\pi ,\pi ]}$

Transición de la integrabilidad al caos

El rotador pateado es un modelo prototipo utilizado para ilustrar la transición de integrabilidad a caos en sistemas hamiltonianos y en particular el teorema de Kolmogorov–Arnold–Moser . En el límite , el sistema describe el movimiento libre del rotador, el momento se conserva (el sistema es integrable ) y las trayectorias correspondientes son líneas rectas en el plano (espacio de fases), es decir, toros. Para una perturbación pequeña, pero que no se desvanece , comienzan a desarrollarse inestabilidades y caos. Solo las órbitas cuasiperiódicas (representadas por toros invariantes en el espacio de fases) permanecen estables, mientras que otras órbitas se vuelven inestables. Para valores más grandes , los toros invariantes son finalmente destruidos por la perturbación. Para el valor , el último toro invariante que conecta y en el espacio de fases es destruido. ${\displaystyle K=0}$ ${\displaystyle (\theta ,p)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K=K_{c}\approx 0.971635\dots }$ ${\displaystyle \theta =-\pi }$ ${\displaystyle \theta =\pi }$

Animación de retrato de fase del rotor Kicker

Difusión en la dirección del momento

Para , las órbitas inestables caóticas ya no están limitadas por toros invariantes en la dirección del momento y pueden explorar el espacio de fase completo. Para , la partícula después de cada patada normalmente se movió sobre una gran distancia, lo que modifica fuertemente la amplitud y el signo de la siguiente patada. En un tiempo suficientemente largo, la partícula ha sido sometida a una serie de patadas con amplitudes cuasialeatorias. Este paseo cuasialeatorio es responsable de un proceso de difusión en la dirección del momento (donde el promedio se ejecuta sobre diferentes condiciones iniciales). ${\displaystyle K>K_{c}}$ ${\displaystyle K\gg K_{c}}$ ${\displaystyle \langle (\Delta p_{n})^{2}\rangle =2D_{\text{cl}}n}$

Más precisamente, después de las patadas, el momento de una partícula con momento inicial escribe ^[2] (obtenido iterando veces el mapa estándar). Suponiendo que las patadas son aleatorias y no correlacionadas en el tiempo, la propagación de la distribución del momento escribe El coeficiente de difusión clásico en la dirección del momento se da entonces en primera aproximación por . Las correcciones que provienen de términos de correlación descuidados realmente se pueden tener en cuenta, lo que lleva a la expresión mejorada ^[3] donde es la función de Bessel de primer tipo. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\textstyle p_{n}=p_{0}+K\sum _{i=0}^{n-1}\sin \theta _{i}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle =\left\langle {(p_{n}-p_{0})}^{2}\right\rangle =K^{2}\sum _{i=0}^{n-1}\left\langle {\sin }^{2}\theta _{i}\right\rangle +K^{2}\sum _{i\neq j}^{}\left\langle \sin \theta _{i}\sin \theta _{j}\right\rangle \approx K^{2}\sum _{i=0}^{n-1}\left\langle {\sin }^{2}\theta _{i}\right\rangle ={\frac {1}{2}}K^{2}n}$$ ${\textstyle D_{\text{cl}}={\frac {K^{2}}{4}}}$ $${\displaystyle D_{\text{cl}}={\frac {K^{2}}{4}}[1-2J_{2}(K)+2J_{2}^{2}(K)]}$$ ${\textstyle J_{2}}$

El rotador con patada cuántica

Dinámica estroboscópica

La dinámica del rotador de patada cuántica (con función de onda ) está gobernada por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo . ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =\left[{\frac {{\hat {p}}^{2}}{2I}}+K\cos {\hat {\theta }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {t}{T}}-n\right)\right]|\psi (t)\rangle }$

con (o equivalentemente ). ${\displaystyle [{\hat {\theta }},{\hat {p}}]=i\hbar }$ ${\textstyle \langle \theta |{\hat {p}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}}$

En cuanto a la dinámica clásica, se puede adoptar un punto de vista estroboscópico introduciendo el propagador temporal durante un periodo de patada (es decir, el operador de Floquet ) de modo que . Tras una cuidadosa integración de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, se encuentra que puede escribirse como el producto de dos operadores Recuperamos la interpretación clásica: la dinámica del rotor con patadas cuánticas entre dos patadas es la sucesión de una propagación libre durante un tiempo seguida de una patada corta. Esta sencilla expresión del operador de Floquet (un producto de dos operadores, uno diagonal en base al momento, el otro diagonal en base a la posición angular) permite resolver numéricamente fácilmente la evolución de una función de onda dada utilizando el método de pasos divididos . ${\displaystyle {\hat {U}}}$ ${\displaystyle |\psi (t+T)\rangle ={\hat {U}}|\psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {U}}}$ $${\displaystyle {\hat {U}}=\exp \left[-i{\frac {{\hat {p}}^{2}T}{2I\hbar }}\right]\exp \left[-i{\frac {KT}{\hbar }}\cos {\hat {\theta }}\right]}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\hat {U}}}$

Debido a las condiciones de contorno periódicas en , cualquier función de onda se puede expandir en una base de momento discreta (con , entero) véase el teorema de Bloch ), de modo que ${\displaystyle \theta =\pm \pi }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle |l\rangle }$ ${\displaystyle p=l\hbar }$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \langle \theta |\psi \rangle =\sum _{l=-\infty }^{\infty }\langle l|\psi \rangle \mathrm {e} ^{il\theta }\Leftrightarrow \langle l|\psi \rangle =\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} x}{2\pi }}\langle \theta |\psi \rangle \mathrm {e} ^{-il\theta }}$

Utilizando esta relación con la expresión anterior de , encontramos la relación de recursión ^[4] donde es una función de Bessel de primer tipo. ${\displaystyle {\hat {U}}}$ $${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2}}\right)\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-i)^{m-l}J_{m-l}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right)\langle m|\psi (t)\rangle }$$ ${\displaystyle \textstyle {J}_{n}}$

Demostración

En efecto, tenemos De modo que recuperamos el resultado, manteniendo sólo los términos no nulos en la doble suma. $${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\langle l|{\hat {U}}|\psi (t)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\langle l|\exp \left(-i{\frac {KT\cos {\hat {\theta }}}{\hbar }}\right)|\psi (t)\rangle }$$ $${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}\mathrm {e} ^{-il\theta }\exp \left(-i{\frac {KT\cos {\hat {\theta }}}{\hbar }}\right)\langle \theta |\psi (t)\rangle }$$ $${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}\mathrm {e} ^{-il\theta }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-i)^{n}J_{n}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right)\mathrm {e} ^{-in\theta }\sum _{m=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{im\theta }\langle m|\psi (t)\rangle }$$ $${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\sum _{n,m=-\infty }^{\infty }(-i)^{n}J_{n}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right)\left[\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}\mathrm {e} ^{i(m-l-n)\theta }\right]\langle m|\psi (t)\rangle }$$ $${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\sum _{n,m=-\infty }^{\infty }(-i)^{n}J_{n}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right){\frac {\sin([m-l-n])\pi }{(m-l-n)\pi }}\langle m|\psi (t)\rangle }$$ ${\displaystyle m-l-n=0}$

Localización dinámica

Se ha descubierto ^[1] que la difusión clásica se suprime en el rotador con impulso cuántico. Más tarde se entendió ^{[5] [6] [7] [8]} que esto es una manifestación de un efecto de localización dinámica cuántica que es paralelo a la localización de Anderson . Existe un argumento general ^{[9] [10]} que conduce a la siguiente estimación para el tiempo de ruptura del comportamiento difusivo

${\displaystyle t^{*}\ \approx \ D_{cl}/\hbar ^{2}}$

Donde es el coeficiente de difusión clásico. La escala de localización asociada en el momento es, por lo tanto , . ${\displaystyle D_{cl}}$ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {D_{cl}t^{*}}}}$

Enlace con el modelo de unión fuerte de Anderson

El rotor impulsado cuánticamente puede en realidad relacionarse formalmente con el modelo de enlace fuerte de Anderson, un célebre hamiltoniano que describe los electrones en una red desordenada con un estado del sitio de la red , donde tiene lugar la localización de Anderson (en una dimensión) , donde son energías aleatorias en el sitio y son las amplitudes de esperanza entre los sitios y . ${\displaystyle |n\rangle }$ $${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n}\varepsilon _{n}|n\rangle \langle n|+\sum _{n\neq m}t_{n-m}|n\rangle \langle m|}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ ${\displaystyle t_{n-m}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

En el rotador cuántico pateado se puede demostrar, ^[11] que la onda plana con momento cuantizado juega el papel de los estados de los sitios de la red. La correspondencia completa con el modelo de enlace fuerte de Anderson es la siguiente (para un estado propio dado del operador de Floquet, con cuasi-energía ) La localización dinámica en el rotador cuántico pateado tiene lugar entonces en la base del momento. ${\displaystyle |p\rangle }$ ${\displaystyle p=n\hbar }$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle t_{n}=-\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} x}{2\pi }}\tan[K\cos(x)/2]\mathrm {e} ^{-ixn}\quad {\text{and}}\quad \varepsilon _{n}=\tan(\omega /2-n^{2}/4)}$$

El efecto del ruido y la disipación.

Si se añade ruido al sistema, se destruye la localización dinámica y se induce la difusión. ^{[12] [13] [14]} Esto es algo similar a la conductancia por saltos. El análisis adecuado requiere averiguar cómo se reducen las correlaciones dinámicas que son responsables del efecto de localización.

Recordemos que el coeficiente de difusión es , porque el cambio en el momento es la suma de patadas cuasialeatorias . Se obtiene una expresión exacta para calculando el "área" de la función de correlación , es decir, la suma . Nótese que . La misma receta de cálculo se aplica también en el caso de la mecánica cuántica, y también si se añade ruido. ${\displaystyle D_{cl}\approx K^{2}/2}$ ${\displaystyle (p(t)-p(0))}$ ${\displaystyle K\sin(x(n))}$ ${\displaystyle D_{cl}}$ ${\displaystyle C(n)=\langle \sin(x(n))\sin(x(0))\rangle }$ ${\displaystyle D=K^{2}\sum C(n)}$ ${\displaystyle C(0)=1/2}$

En el caso cuántico, sin el ruido, el área debajo es cero (debido a las largas colas negativas), mientras que con el ruido una aproximación práctica es donde el tiempo de coherencia es inversamente proporcional a la intensidad del ruido. En consecuencia, el coeficiente de difusión inducido por el ruido es ${\displaystyle C(n)}$ ${\displaystyle C(n)\mapsto C(n)e^{-t/t_{c}}}$ ${\displaystyle t_{c}}$

${\displaystyle D\approx D_{cl}t^{*}/t_{c}\quad [{\text{assuming }}t_{c}\gg t^{*}]}$

También se ha considerado el problema del rotador con patada cuántica con disipación (debido al acoplamiento a un baño térmico). Aquí se plantea el problema de cómo introducir una interacción que respete la periodicidad angular de la coordenada de posición y que siga siendo espacialmente homogénea. En los primeros trabajos ^{[15] [16]} se ha supuesto una interacción de tipo cuántico-óptico que implica un acoplamiento dependiente del momento. Más tarde ^[17] se ha descubierto una forma de formular un acoplamiento puramente dependiente de la posición, como en el modelo de Calderia-Leggett, que puede considerarse como la versión anterior del modelo DLD . ${\displaystyle x}$

Realización experimental con átomos fríos

Las primeras realizaciones experimentales del rotador cuántico pateado fueron logradas por el grupo de Mark G. Raizen ^{[18] [19]} en 1995, seguido más tarde por el grupo de Auckland ^[20] , y han fomentado un renovado interés en el análisis teórico. En este tipo de experimento, una muestra de átomos fríos proporcionada por una trampa magneto-óptica interactúa con una onda estacionaria pulsada de luz. Al estar la luz desafinada con respecto a las transiciones atómicas, los átomos experimentan una fuerza conservativa espacio-periódica . Por lo tanto, la dependencia angular se reemplaza por una dependencia de la posición en el enfoque experimental. El enfriamiento submiliKelvin es necesario para obtener efectos cuánticos: debido al principio de incertidumbre de Heisenberg , la longitud de onda de De Broglie, es decir, la longitud de onda atómica, puede llegar a ser comparable a la longitud de onda de la luz. Para obtener más información, consulte. ^[21] Gracias a esta técnica, se han investigado varios fenómenos, incluidos los notables:

• Trinquetes cuánticos; ^[22]
• La transición de Anderson en 3D. ^[23]

Véase también

• Mapa circular

Referencias

1. G. Casati, BV Chirikov, FM Izrailev y J. Ford, en Comportamiento estocástico en sistemas hamiltonianos clásicos y cuánticos , vol. 93 de Lecture Notes in Physics, editado por G. Casati y J. Ford (Springer, NY 1979), pág. 334
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4. Zheng, Yindong; Kobe, Donald H. (2007). "Difusión de momento del rotor impulsado cuánticamente: Comparación de la mecánica cuántica de Bohm y la estándar". Caos, solitones y fractales . 34 (4): 1105–1113. Bibcode :2007CSF....34.1105Z. doi :10.1016/j.chaos.2006.04.065. ISSN  0960-0779.
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11. Fishman, Shmuel; Grempel, DR; Prange, RE (23 de agosto de 1982). "Caos, recurrencias cuánticas y localización de Anderson". Physical Review Letters . 49 (8): 509–512. Código Bibliográfico :1982PhRvL..49..509F. doi :10.1103/PhysRevLett.49.509.
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Enlaces externos

• Entrada de Scholarpedia