Ecuación diferencial de retardo

Tipo de ecuación diferencial

En matemáticas , las ecuaciones diferenciales con retardo ( EDT ) son un tipo de ecuación diferencial en la que la derivada de la función desconocida en un momento determinado se da en términos de los valores de la función en momentos anteriores. Las EDT también se denominan sistemas con retardo temporal , sistemas con efecto posterior o tiempo muerto, sistemas hereditarios, ecuaciones con argumento desviado o ecuaciones diferenciales-diferenciales. Pertenecen a la clase de sistemas con el estado funcional , es decir, ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que son de dimensión infinita, a diferencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) que tienen un vector de estado de dimensión finita. Cuatro puntos pueden dar una posible explicación de la popularidad de las EDT: ^[1]

1. El efecto secundario es un problema aplicado: es bien sabido que, junto con las crecientes expectativas de rendimiento dinámico, los ingenieros necesitan que sus modelos se comporten más como el proceso real. Muchos procesos incluyen fenómenos de efecto secundario en su dinámica interna. Además, los actuadores , sensores y redes de comunicación que ahora están involucrados en bucles de control de retroalimentación introducen tales retrasos. Finalmente, además de los retrasos reales, los desfases temporales se utilizan con frecuencia para simplificar modelos de orden muy alto. Entonces, el interés por los DDE sigue creciendo en todas las áreas científicas y, especialmente, en la ingeniería de control.
2. Los sistemas de retardo siguen siendo resistentes a muchos controladores clásicos : se podría pensar que la solución más sencilla consistiría en sustituirlos por algunas aproximaciones de dimensión finita. Desafortunadamente, ignorar los efectos que están adecuadamente representados por los DDE no es una alternativa general: en la mejor situación (retardos constantes y conocidos), conduce al mismo grado de complejidad en el diseño del control. En los peores casos (retardos variables en el tiempo, por ejemplo), es potencialmente desastroso en términos de estabilidad y oscilaciones.
3. La introducción voluntaria de retrasos puede beneficiar al sistema de control . ^[2]
4. A pesar de su complejidad, las DDE a menudo aparecen como modelos simples de dimensión infinita en el área muy compleja de las ecuaciones diferenciales parciales (PDE).

Una forma general de la ecuación diferencial de retardo temporal para es donde representa la trayectoria de la solución en el pasado. En esta ecuación, es un operador funcional de a ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x_{t}),}$$ ${\displaystyle x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\times C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Ejemplos

• Retraso continuo $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\,d\mu (\tau )\right)}$$
• Retardo discreto para $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\dots ,x(t-\tau _{m}))}$$ ${\displaystyle \tau _{1}>\dots >\tau _{m}\geq 0.}$
• Lineal con retrasos discretos donde . $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$ ${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$
• Ecuación del pantógrafo donde a , b y λ son constantes y 0 < λ < 1. Esta ecuación y algunas formas más generales reciben su nombre de los pantógrafos de los trenes. ^{[3] [4]} $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),}$$

Solución de ecuaciones diferenciales parciales

Las DDE se resuelven en su mayoría de manera escalonada con un principio llamado método de pasos. Por ejemplo, considere la DDE con un solo retraso $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t),x(t-\tau ))}$$

con condición inicial dada . Entonces la solución en el intervalo está dada por que es la solución al problema de valor inicial no homogéneo con . Esto puede continuar para los intervalos sucesivos utilizando la solución al intervalo anterior como término no homogéneo. En la práctica, el problema de valor inicial a menudo se resuelve numéricamente. ${\displaystyle \phi \colon [-\tau ,0]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [0,\tau ]}$ ${\displaystyle \psi (t)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\psi (t)=f(\psi (t),\phi (t-\tau )),}$$ ${\displaystyle \psi (0)=\phi (0)}$

Ejemplo

Supongamos que y . Entonces el problema del valor inicial se puede resolver con integración, ${\displaystyle f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )}$ ${\displaystyle \phi (t)=1}$

$${\displaystyle x(t)=x(0)+\int _{s=0}^{t}{\frac {d}{dt}}x(s)\,ds=1+a\int _{s=0}^{t}\phi (s-\tau )\,ds,}$$

es decir , , donde la condición inicial está dada por . De manera similar, para el intervalo integramos y ajustamos la condición inicial, ${\displaystyle x(t)=at+1}$ ${\displaystyle x(0)=\phi (0)=1}$ ${\displaystyle t\in [\tau ,2\tau ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)=x(\tau )+\int _{s=\tau }^{t}{\frac {d}{dt}}x(s)\,ds&=(a\tau +1)+a\int _{s=\tau }^{t}\left(a(s-\tau )+1\right)ds\\&=(a\tau +1)+a\int _{s=0}^{t-\tau }\left(as+1\right)ds,\end{aligned}}}$$

es decir, ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$

Reducción a EDO

En algunos casos, las ecuaciones diferenciales se pueden representar en un formato que parece ecuaciones diferenciales de retardo .

• Ejemplo 1 Considere una ecuación Introducir para obtener un sistema de EDO $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau \right).}$$ ${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau }$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=x-\lambda y.}$$
• Ejemplo 2 Una ecuación es equivalente a donde $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau \right)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=\cos(\beta )x+\alpha z,\quad {\frac {d}{dt}}z(t)=\sin(\beta )x-\alpha y,}$$ $${\displaystyle y=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau ,\quad z=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\sin(\alpha \tau +\beta )\,d\tau .}$$

La ecuación característica

De manera similar a las EDO , muchas propiedades de las EDO lineales se pueden caracterizar y analizar utilizando la ecuación característica . ^[5] La ecuación característica asociada con la EDO lineal con retrasos discretos es el polinomio exponencial dado por $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$ $${\displaystyle \det(-\lambda I+A_{0}+A_{1}e^{-\tau _{1}\lambda }+\dotsb +A_{m}e^{-\tau _{m}\lambda })=0.}$$

Las raíces λ de la ecuación característica se denominan raíces características o valores propios y el conjunto de soluciones se suele denominar espectro . Debido a la exponencial de la ecuación característica, la DDE tiene, a diferencia del caso de la ODE, un número infinito de valores propios, lo que hace que el análisis espectral sea más complejo. Sin embargo, el espectro tiene algunas propiedades que se pueden aprovechar en el análisis. Por ejemplo, aunque hay un número infinito de valores propios, solo hay un número finito de valores propios en cualquier franja vertical del plano complejo. ^[6]

Esta ecuación característica es un problema propio no lineal y existen muchos métodos para calcular numéricamente el espectro. ^{[7] [8]} En algunas situaciones especiales es posible resolver la ecuación característica explícitamente. Consideremos, por ejemplo, la siguiente DDE: La ecuación característica es Hay un número infinito de soluciones para esta ecuación para λ complejo . Están dadas por donde W _k es la rama k -ésima de la función W de Lambert , por lo que: $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=-x(t-1).}$$ $${\displaystyle -\lambda -e^{-\lambda }=0.}$$ $${\displaystyle \lambda =W_{k}(-1),}$$ $${\displaystyle x(t)=x(0)\,e^{W_{k}(-1)\cdot t}.}$$

Otro ejemplo

La siguiente DDE: ^[9] $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}u(t)=2u(2t+1)-2u(2t-1).}$$

Tenemos como solución en la función: ^[10] con la función Fabius . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle u(t)={\begin{cases}F(t+1),\quad |t|<1\\0,\quad |t|\geq 1\end{cases}}}$$ ${\displaystyle F(t)}$

Aplicaciones

• Dinámica de la diabetes ^[11]
• Epidemiología ^{[12] [13]}
• Dinámica poblacional ^{[14] [15]}
• Electrodinámica clásica ^[16]

Véase también

• Ecuación diferencial funcional
• Desigualdad de Halanay

Referencias

1. Richard, Jean-Pierre (2003). "Sistemas de retardo temporal: una visión general de algunos avances recientes y problemas abiertos". Automatica . 39 (10): 1667–1694. doi :10.1016/S0005-1098(03)00167-5.
2. Lavaei, Javad; Sojoudi, Somayeh; Murray, Richard M. (2010). "Implementación simple basada en retardo de controladores de tiempo continuo". Actas de la Conferencia de Control Americana de 2010. págs. 5781–5788. doi :10.1109/ACC.2010.5530439. ISBN 978-1-4244-7427-1.S2CID1200900  .​
3. Griebel, Thomas (1 de enero de 2017). "La ecuación del pantógrafo en el cálculo cuántico". Tesis de maestría .
4. Ockendon, John Richard; Tayler, AB; Temple, George Frederick James (4 de mayo de 1971). "La dinámica de un sistema de recolección de corriente para una locomotora eléctrica". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias matemáticas y físicas . 322 (1551): 447–468. Bibcode :1971RSPSA.322..447O. doi :10.1098/rspa.1971.0078. S2CID  110981464.
5. Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007). Estabilidad y estabilización de sistemas con retardo temporal. Avances en diseño y control. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. pp. 3–32. doi :10.1137/1.9780898718645. ISBN 978-0-89871-632-0.
6. Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007). Estabilidad y estabilización de sistemas con retardo temporal. Avances en diseño y control. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. pág. 9. doi :10.1137/1.9780898718645. ISBN 978-0-89871-632-0.
7. Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007). Estabilidad y estabilización de sistemas con retardo temporal. Avances en diseño y control. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. págs. 33–56. doi :10.1137/1.9780898718645. ISBN 978-0-89871-632-0.
8. Appeltans, Pieter; Michiels, Wim (29 de abril de 2023). "Análisis y diseño de controladores de sistemas de retardo temporal utilizando TDS-CONTROL. Tutorial y manual". arXiv : 2305.00341 [math.OC].
9. Juan Arias de Reyna (2017). "Aritmética de la función Fabius". arXiv : 1702.06487 [math.NT].
10. "A288163 - Oís".
11. Makroglou, Athena; Li, Jiaxu; Kuang, Yang (1 de marzo de 2006). "Modelos matemáticos y herramientas de software para el sistema regulador de glucosa-insulina y diabetes: una descripción general". Matemática numérica aplicada . Artículos seleccionados, Tercera conferencia internacional sobre soluciones numéricas de ecuaciones de Volterra y de retardo. 56 (3): 559–573. doi :10.1016/j.apnum.2005.04.023. ISSN  0168-9274.
12. Salpeter, Edwin E.; Salpeter, Shelley R. (15 de febrero de 1998). "Modelo matemático para la epidemiología de la tuberculosis, con estimaciones del número reproductivo y la función de retardo de la infección". American Journal of Epidemiology . 147 (4): 398–406. doi : 10.1093/oxfordjournals.aje.a009463 . ISSN  0002-9262. PMID  9508108.
13. Kajiwara, Tsuyoshi; Sasaki, Toru; Takeuchi, Yasuhiro (1 de agosto de 2012). "Construcción de funcionales de Lyapunov para ecuaciones diferenciales de retardo en virología y epidemiología". Análisis no lineal: aplicaciones en el mundo real . 13 (4): 1802–1826. doi :10.1016/j.nonrwa.2011.12.011. ISSN  1468-1218.
14. Gopalsamy, K. (1992). Estabilidad y oscilaciones en ecuaciones diferenciales de retardo de dinámica de poblaciones. Matemáticas y sus aplicaciones. Dordrecht, Países Bajos: Kluwer Academic Publishers. doi :10.1007/978-94-015-7920-9. ISBN 978-0792315940.
15. Kuang, Y. (1993). Ecuaciones diferenciales de retardo con aplicaciones en dinámica de poblaciones. Matemáticas en la ciencia y la ingeniería. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0080960029.
16. López, Álvaro G. (1 de septiembre de 2020). "Sobre un origen electrodinámico de las fluctuaciones cuánticas". Dinámica no lineal . 102 (1): 621–634. arXiv : 2001.07392 . doi :10.1007/s11071-020-05928-5. ISSN  1573-269X. S2CID  210838940.

Lectura adicional

• Bellen, Alfredo; Zennaro, Marino (2003). Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales de retardo. Matemáticas numéricas y computación científica. Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. ISBN 978-0198506546.
• Bellman, Richard; Cooke, Kenneth L. (1963). Ecuaciones diferenciales (PDF) . Matemáticas en la ciencia y la ingeniería. Nueva York, NY: Academic Press. ISBN 978-0120848508.
• Briat, Corentin (2015). Sistemas lineales de parámetros variables y con retardo temporal: análisis, observación, filtrado y control. Avances en retardos y dinámica. Heidelberg, DE: Springer-Verlag. ISBN 978-3662440490.
• Driver, Rodney D. (1977). Ecuaciones diferenciales ordinarias y de retardo. Applied Mathematical Sciences. Vol. 20. Nueva York, NY: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4684-9467-9. ISBN 978-0387902319.
• Erneux, Thomas (2009). Ecuaciones diferenciales de retardo aplicadas. Encuestas y tutoriales en las ciencias matemáticas aplicadas. Vol. 3. Nueva York, NY: Springer Science+Business Media. doi :10.1007/978-0-387-74372-1. ISBN 978-0387743714.

Enlaces externos

• Skip Thompson (ed.). "Ecuaciones diferenciales retardadas". Scholarpedia .