Ecuación diferencial funcional

Una ecuación diferencial funcional es una ecuación diferencial con argumentos desviados. Es decir, una ecuación diferencial funcional es una ecuación que contiene una función y algunas de sus derivadas evaluadas con diferentes valores de argumentos. ^[1]

Las ecuaciones diferenciales funcionales se utilizan en modelos matemáticos que suponen que un comportamiento o fenómeno específico depende tanto del estado presente como del pasado de un sistema. ^[2] En otras palabras, los eventos pasados ​​influyen explícitamente en los resultados futuros. Por esta razón, las ecuaciones diferenciales funcionales son más aplicables que las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) , en las que el comportamiento futuro solo depende implícitamente del pasado.

Definición

A diferencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias, que contienen una función de una variable y sus derivadas evaluadas con la misma entrada, las ecuaciones diferenciales funcionales contienen una función y sus derivadas evaluadas con diferentes valores de entrada.

• Un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria sería ${\displaystyle f'(x)=2f(x)+1}$
• En comparación, una ecuación diferencial funcional sería ${\displaystyle f'(x)=2f(x+3)-[f(x-1)]^{2}}$

El tipo más simple de ecuación diferencial funcional, denominada ecuación diferencial funcional retardada o ecuación diferencial retardada , tiene la forma ^[3]

${\displaystyle x'(t)=f{\bigl (}t,x(t),x(t-r){\bigr )}}$

Ejemplos

La ecuación diferencial funcional fundamental más simple es la ecuación diferencial de retardo lineal de primer orden ^{[4] [¿ fuente poco confiable? ]} que viene dada por

${\displaystyle x'(t)=\alpha _{1}x(t)+\alpha _{2}x(t-\tau )+f(t),t\geq 0}$

donde son constantes, es una función continua y es un escalar. A continuación se muestra una tabla con una comparación de varias ecuaciones diferenciales ordinarias y funcionales. ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\tau }$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle x}$

Tipos de ecuaciones diferenciales funcionales

"Ecuación diferencial funcional" es el nombre general de varios tipos más específicos de ecuaciones diferenciales que se utilizan en numerosas aplicaciones. Existen ecuaciones diferenciales de retardo, ecuaciones diferenciales integrométricas, etc.

Ecuación diferencial en diferencias

Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones diferenciales funcionales en las que los valores de los argumentos son discretos. ^[1] La forma general para ecuaciones diferenciales funcionales de un número finito de argumentos discretos desviados es

${\displaystyle x^{(n)}(t)=f{\Bigl (}t,x^{(n_{1})}{\bigl (}t-\tau _{1}(t){\bigr )},x^{(n_{2})}{\bigl (}t-\tau _{2}(t){\bigr )},\ldots ,x^{(n_{k})}{\bigl (}t-\tau _{k}(t){\bigr )}{\Bigr )}}$

donde y ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{m},\,n_{1},n_{2},\ldots ,n_{i}\geq 0,}$ ${\displaystyle \tau _{1}(t),\tau _{2}(t),\ldots ,\tau _{i}(t)\geq 0}$

Las ecuaciones diferenciales también se denominan ecuaciones diferenciales funcionales retardadas , neutras , avanzadas y mixtas . Esta clasificación depende de si la tasa de cambio del estado actual del sistema depende de valores pasados, valores futuros o ambos. ^[5]

Ecuación diferencial de retardo

Las ecuaciones diferenciales funcionales de tipo retardado se dan cuando para la ecuación dada anteriormente, es decir, esta clase de ecuaciones diferenciales funcionales depende de los valores pasados ​​y presentes de la función con retardos. ${\displaystyle \max\{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\ \}<n}$

Un ejemplo simple de una ecuación diferencial funcional retardada es

${\displaystyle x'(t)=-x(t-\tau )}$

Mientras que una forma más general para argumentos desviados discretos se puede escribir como

${\displaystyle x'(t)=f{\Bigl (}t,x{\bigl (}t-\tau _{1}(t){\bigr )},x{\bigl (}t-\tau _{2}(t){\bigr )},\ldots ,x{\bigl (}t-\tau _{k}(t){\bigr )}{\Bigr )}.}$

Ecuaciones diferenciales neutras

Las ecuaciones diferenciales funcionales de tipo neutro, o ecuaciones diferenciales neutras, ocurren cuando

${\displaystyle \max\{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\}=n.}$

Las ecuaciones diferenciales neutras dependen de los valores pasados ​​y presentes de la función, de manera similar a las ecuaciones diferenciales retardadas, excepto que también dependen de derivadas con retardos. En otras palabras, las ecuaciones diferenciales retardadas no involucran la derivada de la función dada con retardos, mientras que las ecuaciones diferenciales neutras sí lo hacen.

Ecuación integro-diferencial

Las ecuaciones integro-diferenciales del tipo Volterra son ecuaciones diferenciales funcionales con valores de argumento continuos. ^[1] Las ecuaciones integro-diferenciales involucran tanto las integrales como las derivadas de alguna función con respecto a su argumento.

La ecuación integro-diferencial continua para ecuaciones diferenciales funcionales retardadas, , se puede escribir como ${\displaystyle x'(t)=f{\bigl (}t,x(t-\tau _{1}(t)),x(t-\tau _{2}(t)),\ldots ,x(t-\tau _{k}(t)){\bigr )}}$

${\displaystyle x'(t)=f{\Biggl (}t,\int _{t-\tau (t)}^{t}K(t,\theta ,x(\theta ))\,\mathrm {d} \theta {\Biggr )},\quad \tau (t)\geq 0}$

Solicitud

Las ecuaciones diferenciales funcionales se han utilizado en modelos que determinan el comportamiento futuro de un determinado fenómeno determinado por el presente y el pasado. El comportamiento futuro de los fenómenos, descrito por las soluciones de las EDO, supone que el comportamiento es independiente del pasado. ^[2] Sin embargo, pueden existir muchas situaciones que dependan del comportamiento pasado.

Las ecuaciones diferenciales parciales se pueden aplicar a modelos en múltiples campos, como la medicina, la mecánica, la biología y la economía. Las ecuaciones diferenciales parciales se han utilizado en investigaciones sobre transferencia de calor, procesamiento de señales, evolución de especies, flujo de tráfico y estudio de epidemias. ^{[1] [4]}

Crecimiento de la población con desfase temporal

Una ecuación logística para el crecimiento poblacional está dada por donde ρ es la tasa de reproducción y k es la capacidad de carga . representa el tamaño de la población en el tiempo t , y es la tasa de reproducción dependiente de la densidad. ^[7] $${\displaystyle {\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}=\rho \,x(t)\left(1-{\frac {x(t)}{k}}\right),}$$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\textstyle \rho \left(1-{\frac {x(t)}{k}}\right)}$

Si ahora aplicáramos esto a un momento anterior , obtendríamos ${\displaystyle t-\tau }$ $${\displaystyle {\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}=\rho \,x(t)\left(1-{\frac {x(t-\tau )}{k}}\right)}$$

Modelo de mezcla

Al exponerse a las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias, muchos se topan con el modelo de mezcla de alguna solución química.

Supongamos que hay un recipiente que contiene litros de agua salada. El agua salada fluye hacia dentro y hacia fuera del recipiente a la misma velocidad de litros por segundo. En otras palabras, la velocidad del agua que fluye hacia dentro es igual a la velocidad de la solución de agua salada que fluye hacia fuera. Sea la cantidad en litros de agua salada en el recipiente y la concentración uniforme en gramos por litro de agua salada en el tiempo . Entonces, tenemos la ecuación diferencial ^[8] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle x'(t)=-{\frac {r}{V}}x(t),{\frac {r}{V}}>0}$$

El problema de esta ecuación es que supone que cada gota de agua que entra en el recipiente se mezcla instantáneamente con la solución. Esto se puede eliminar utilizando una ecuación diferencial funcional en lugar de una ecuación diferencial normal.

Sea la concentración media en el momento , en lugar de uniforme. Supongamos entonces que la solución que sale del recipiente en el momento es igual a , la concentración media en un momento anterior. En ese caso, la ecuación es una ecuación diferencial retardada de la forma ^[8] ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x(t-\tau ),\tau >0}$ $${\displaystyle x'(t)=-{\frac {r}{V}}x(t-\tau )}$$

El modelo depredador-presa de Volterra

El modelo depredador-presa de Lotka-Volterra se desarrolló originalmente para observar la población de tiburones y peces en el mar Adriático; sin embargo, este modelo se ha utilizado en muchos otros campos para diferentes usos, como la descripción de reacciones químicas. La modelización de poblaciones depredador-presa siempre ha sido objeto de amplias investigaciones y, como resultado, ha habido muchas formas diferentes de la ecuación original.

A continuación se muestra un ejemplo, como lo muestran Xu, Wu (2013), ^[9] del modelo Lotka-Volterra con retardo temporal: donde denota la densidad de la población de presas en el tiempo t, y denota la densidad de la población de depredadores en el tiempo y $${\displaystyle p'(t)=p(t){\Biggl [}r_{1}(t)-a_{11}(t)p{\biggl (}t-\tau _{11}(t){\biggr )}-a_{12}(t)P_{1}{\biggl (}t-\tau _{12}(t){\biggr )}-a_{13}(t)P_{2}{\biggl (}t-\tau _{13}(t){\biggr )}{\Biggr ]}}$$ $${\displaystyle P_{1}'(t)=P_{1}(t){\Biggl [}-r_{2}(t)+a_{21}(t)p{\biggl (}t-\tau _{21}(t){\biggr )}-a_{22}(t)P_{1}{\biggl (}t-\tau _{22}(t){\biggr )}-a_{23}(t)P_{2}{\biggl (}t-\tau _{23}(t){\biggr )}{\Biggr ]}}$$ $${\displaystyle P_{2}'(t)=P_{2}(t){\Biggl [}-r_{2}(t)+a_{31}(t)p{\biggl (}t-\tau _{31}(t){\biggr )}-a_{32}(t)P_{1}{\biggl (}t-\tau _{32}(t){\biggr )}-a_{33}(t)P_{2}{\biggl (}t-\tau _{33}(t){\biggr )}{\Biggr ]}}$$ ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle P_{1}(t)}$ ${\displaystyle P_{2}(t)}$ ${\displaystyle t,r_{i},a_{ij}\in C(\mathbb {R} ,[0,\infty ))}$ ${\displaystyle \tau _{ij}\in C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

Otros modelos que utilizan FDE

A continuación se ofrecen ejemplos de otros modelos que han utilizado FDE, concretamente RFDE:

• Movimiento controlado de un cuerpo rígido ^[1]
• Movimientos periódicos ^[8]
• Circuito flip-flop como ECM ^[8]
• Modelo de la epidemia del VIH
• Modelos matemáticos de la cantidad de azúcar en sangre ^[1]
• Ecuaciones de evolución de especies individuales ^[1]
• Propagación de una infección entre dos especies ^[8]
• Electrodinámica clásica ^[10]

Véase también

• Ecuación integral de Volterra
• Ecuaciones de Lotka-Volterra
• Teoría de la bifurcación
• Función de Lyapunov
• Serie Volterra

Referencias

1. Kolmanovskii, V.; Myshkis, A. (1992). Teoría aplicada de ecuaciones diferenciales funcionales . Países Bajos: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2013-1.
2. Hale, Jack K. (1971). Ecuaciones diferenciales funcionales . Estados Unidos: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90023-3.
3. Hale, Jack K.; Verduyn Lunel, Sjoerd M. (1993). Introducción a las ecuaciones diferenciales funcionales . Estados Unidos: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94076-6.
4. Falbo, Clement E. "Algunos métodos elementales para resolver ecuaciones diferenciales funcionales" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de diciembre de 2016.
5. Guo, S.; Wu, J. (2013). Teoría de la bifurcación de ecuaciones diferenciales funcionales . Nueva York: Springer. pp. 41–60. ISBN. 978-1-4614-6991-9.
6. Bellman, Richard; Cooke, Kenneth L. (1963). Ecuaciones diferenciales . Nueva York, NY: Academic Press. pp. 42–49. ISBN 978-0124109735.
7. Barnes, B.; Fulford, GR (2015). Modelado matemático con estudios de casos . Taylor & Francis Group LLC. págs. 75–77. ISBN 978-1-4822-4772-5.
8. Schmitt, Klaus , ed. (1972). Ecuaciones diferenciales funcionales y de retardo y sus aplicaciones . Estados Unidos: Academic Press.
9. Xu, Changjin; Wu, Yusen (2013). "Dinámica en un modelo depredador-presa de Lotka-Volterra con retrasos variables en el tiempo". Abstract and Applied Analysis . 2013 : 1–9. doi : 10.1155/2013/956703 .
10. García López, Álvaro (1 de septiembre de 2020). «Sobre un origen electrodinámico de las fluctuaciones cuánticas». Dinámica no lineal . 102 (1): 621–634. arXiv : 2001.07392 . doi :10.1007/s11071-020-05928-5. S2CID  210838940.

Lectura adicional

• Herdman, Terry L.; Rankin III, Samuel M.; Stech, Harlan W. (1981). Ecuaciones diferenciales integrales y funcionales: notas de clase. 67 . Estados Unidos: Marcel Dekker Inc, Matemáticas puras y aplicadas
• Ford, Neville J.; Lumb, Patricia M. (2009). "Ecuaciones diferenciales funcionales de tipo mixto: un enfoque numérico". Revista de Matemática Computacional y Aplicada. 229 (2): 471–479
• Lemon, Greg; Kinf, John R. (2012). :Un modelo de ecuación diferencial funcional para la clasificación de células biológicas debido a la adhesión diferencial". Modelos y métodos matemáticos en ciencias aplicadas. 12 (1): 93–126
• Da Silva, Carmen, Escalante, René (2011). "Aproximación de Tau segmentada para ecuaciones diferenciales funcionales hacia adelante y hacia atrás". Computers and Mathematics with Applications. 62 (12): 4582–4591
• Pravica, DW; Randriampiry, N.; Spurr, MJ (2009). "Aplicaciones de una ecuación diferencial avanzada en el estudio de wavelets". Análisis armónico computacional y aplicado. 27 (1): 2(10)
• Breda, Dimitri; Maset, Stefano; Vermiglio Rossana (2015). Estabilidad de ecuaciones diferenciales de retardo lineal: un enfoque numérico con MATLAB. Springer. ISBN 978-1-4939-2106-5