Desigualdad de Halanay

Teorema en Matemáticas

La desigualdad de Halanay es un teorema de comparación para ecuaciones diferenciales con retraso . ^[1] Esta desigualdad y sus generalizaciones se han aplicado para analizar la estabilidad de ecuaciones diferenciales retardadas y, en particular, la estabilidad de procesos industriales con tiempos muertos ^[2] y redes neuronales retardadas. ^{[3] [4]}

Declaración

Sea un número real y un número no negativo. Si satisface donde y son constantes con , entonces donde y . ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle v:[t_{0}-\tau ,\infty )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}v(t)\leq -\alpha v(t)+\beta \left[\sup _{s\in [t-\tau ,t]}v(s)\right],t\geq t_{0}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha >\beta >0}$ $${\displaystyle v(t)\leq ke^{-\eta \left(t-t_{0}\right)},t\geq t_{0}}$$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \eta >0}$

Ver también

• La desigualdad de Grönwall

Referencias

1. Halanay (1966). Ecuaciones diferenciales: estabilidad, oscilaciones, desfases temporales. Prensa académica. pag. 378.ISBN​ 978-0-08-095529-2.
2. Bresch-Pietri, D.; Chauvin, J.; Petit, N. (2012). "Invocar la desigualdad de Halanay para concluir sobre la estabilidad de circuito cerrado de un proceso con retraso variable de entrada1". Volúmenes de actas de la IFAC . 45 (14): 266–271. doi :10.3182/20120622-3-US-4021.00011.
3. Chen, Tianping (2001). "Estabilidad exponencial global de redes neuronales de Hopfield retrasadas". Redes neuronales . 14 (8): 977–980. doi :10.1016/S0893-6080(01)00059-4. PMID  11681757.
4. Li, Hongfei; Li, Chuandong; Zhang, Wei; Xu, Jing (2018). "Disipatividad global de redes neuronales inerciales con retraso proporcional a través de nuevas desigualdades generalizadas de Halanay". Cartas de procesamiento neuronal . 48 (3): 1543-1561. doi :10.1007/s11063-018-9788-6. ISSN  1370-4621. S2CID  34828185.