La helicoidal , también conocida como superficie helicoidal , después del plano y la catenoide , es la tercera superficie mínima que se conoce.
Fue descrito por Euler en 1774 y por Jean Baptiste Meusnier en 1776. Su nombre deriva de su similitud con la hélice : por cada punto del helicoidal, hay una hélice contenida en el helicoidal que pasa por ese punto. Dado que se considera que el rango plano se extiende a lo largo del infinito negativo y positivo, una observación minuciosa muestra la aparición de dos planos paralelos o especulares en el sentido de que si se traza la pendiente de un plano, se puede ver que el coplano está desviado o omitido, aunque en realidad el coplano también se traza desde la perspectiva opuesta.
El helicoidal es también una superficie reglada (y un conoide recto ), lo que significa que es el trazo de una línea. Alternativamente, para cualquier punto de la superficie, hay una línea en la superficie que lo atraviesa. De hecho, el catalán demostró en 1842 que el helicoidal y el plano eran las únicas superficies mínimas regladas . [1]
Una helicoidal es también una superficie de traslación en el sentido de geometría diferencial.
El helicoidal y el catenoide son partes de una familia de superficies mínimas helicoidales-catenoideas.
El helicoidal tiene forma de tornillo de Arquímedes , pero se extiende infinitamente en todas direcciones. Puede describirse mediante las siguientes ecuaciones paramétricas en coordenadas cartesianas :
donde ρ y θ varían desde infinito negativo hasta infinito positivo , mientras que α es una constante. Si α es positivo, entonces el helicoidal es diestro como se muestra en la figura; si es negativo entonces zurdo.
El helicoidal tiene curvaturas principales . La suma de estas cantidades da la curvatura media (cero ya que el helicoidal es una superficie mínima) y el producto da la curvatura gaussiana .
El helicoidal es homeomorfo al avión . Para ver esto, dejemos que α disminuya continuamente desde su valor dado hasta cero . Cada valor intermedio de α describirá un helicoidal diferente, hasta que se alcanza α = 0 y el helicoidal se convierte en un plano vertical .
Por el contrario, un avión se puede convertir en helicoidal eligiendo una línea o eje en el avión y luego girando el avión alrededor de ese eje.
Si un helicoidal de radio R gira un ángulo de θ alrededor de su eje mientras se eleva una altura h , el área de la superficie viene dada por [2]
El helicoidal y el catenoide son superficies localmente isométricas; ver Transformación catenoide # helicoidal .
![{\displaystyle {\frac {\theta }{2}}\left[R{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}+c^{2}\ln \left({\frac { R+{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}}{c}}\right)\right],\ c={\frac {h}{\theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a684b2967d00ad5eb8013eb82df1aef94bf917a6)