En matemáticas , los teoremas abeliano y tauberiano son teoremas que dan condiciones para que dos métodos de suma de series divergentes den el mismo resultado, llamados así por Niels Henrik Abel y Alfred Tauber . Los ejemplos originales son el teorema de Abel que muestra que si una serie converge a algún límite, entonces su suma de Abel es el mismo límite, y el teorema de Tauber que muestra que si la suma de Abel de una serie existe y los coeficientes son suficientemente pequeños (o(1/ n )) entonces la serie converge a la suma de Abel. Los teoremas abeliano y tauberiano más generales dan resultados similares para métodos de suma más generales.
Todavía no existe una distinción clara entre los teoremas abeliano y tauberiano, ni una definición generalmente aceptada de lo que significan estos términos. A menudo, un teorema se llama "abeliano" si demuestra que algún método de suma da la suma usual para series convergentes, y se llama "tauberiano" si da condiciones para una serie sumable por algún método que le permite ser sumable en el sentido usual.
En la teoría de transformadas integrales , los teoremas abelianos dan el comportamiento asintótico de la transformada en función de las propiedades de la función original. Por el contrario, los teoremas tauberianos dan el comportamiento asintótico de la función original en función de las propiedades de la transformada, pero normalmente requieren algunas restricciones en la función original. [1]
Para cualquier método de suma L , su teorema abeliano es el resultado de que si c = ( c n ) es una secuencia convergente , con límite C , entonces L ( c ) = C. [ aclaración necesaria ]
Un ejemplo lo da el método de Cesàro , en el que L se define como el límite de las medias aritméticas de los primeros N términos de c , cuando N tiende a infinito. Se puede demostrar que si c converge a C , entonces también lo hace la sucesión ( d N ) donde
Para ver esto, reste C en todas partes para reducir al caso C = 0. Luego divida la secuencia en un segmento inicial y una cola de términos pequeños: dado cualquier ε > 0, podemos tomar N lo suficientemente grande para hacer que el segmento inicial de términos hasta c N tenga un promedio de como máximo ε /2, mientras que cada término en la cola está acotado por ε/2 de modo que el promedio también está necesariamente acotado.
El nombre deriva del teorema de Abel sobre series de potencias . En ese caso, L es el límite radial (pensado dentro del disco unitario complejo ), donde dejamos que r tienda al límite 1 desde abajo a lo largo del eje real en la serie de potencias con término
y se establece z = r · e iθ . Ese teorema tiene su principal interés en el caso de que la serie de potencias tenga un radio de convergencia exactamente 1: si el radio de convergencia es mayor que uno, la convergencia de la serie de potencias es uniforme para r en [0,1] de modo que la suma es automáticamente continua y se sigue directamente que el límite cuando r tiende a 1 es simplemente la suma de los a n . Cuando el radio es 1, la serie de potencias tendrá alguna singularidad en | z | = 1; la afirmación es que, no obstante, si la suma de los a n existe, es igual al límite sobre r . Esto, por tanto, encaja exactamente en la imagen abstracta.
Las recíprocas parciales de los teoremas abelianos se denominan teoremas tauberianos . El resultado original de Alfred Tauber (1897) [2] establecía que si asumimos también
(véase la notación o de Little ) y existe el límite radial, entonces la serie obtenida al establecer z = 1 es en realidad convergente. Esto fue reforzado por John Edensor Littlewood : solo necesitamos suponer O(1/ n ). Una generalización amplia es el teorema tauberiano de Hardy-Littlewood .
En el contexto abstracto, por lo tanto, un teorema abeliano establece que el dominio de L contiene las secuencias convergentes y sus valores allí son iguales a los del funcional Lim . Un teorema tauberiano establece que, bajo alguna condición de crecimiento, el dominio de L es exactamente las secuencias convergentes y nada más.
Si se piensa en L como un tipo generalizado de promedio ponderado , llevado al límite, un teorema de Tauber permite descartar la ponderación, bajo las hipótesis correctas. Existen muchas aplicaciones de este tipo de resultado en la teoría de números , en particular en el manejo de series de Dirichlet .
El desarrollo del campo de los teoremas de Tauber recibió un nuevo giro con los resultados muy generales de Norbert Wiener , a saber, el teorema de Tauber de Wiener y su gran colección de corolarios . [3] El teorema central ahora puede demostrarse mediante métodos del álgebra de Banach , y contiene mucho, aunque no todo, de la teoría anterior.
