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En geometría , el gran dodecaedro es uno de los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot . Está compuesto por 12 caras pentagonales (seis pares de pentágonos paralelos) que se intersecan entre sí formando una trayectoria pentagrámica , con cinco pentágonos que se encuentran en cada vértice.
Una forma de construir un gran dodecaedro es mediante la facetación del icosaedro regular . En otras palabras, se construye a partir del icosaedro regular eliminando sus caras poligonales sin cambiar ni crear nuevos vértices. [1] Otra forma es formar un pentágono regular con cada uno de los cinco vértices que hay dentro de un icosaedro regular, y doce pentágonos regulares que se intersecan entre sí, formando un pentagrama como su figura de vértice . [2] [3]
El gran dodecaedro también puede interpretarse como la segunda estelación del dodecaedro . La construcción se inició a partir de un dodecaedro regular uniendo 12 pirámides pentagonales en cada una de sus caras, conocida como la primera estelación . La segunda estelación aparece cuando se le unen 30 cuñas . [4]
Dado un gran dodecaedro con una longitud de arista . El radio circunscrito de un gran dodecaedro es: Su área superficial es: Su volumen es: [5]
Históricamente, el gran dodecaedro es uno de los dos sólidos descubiertos por Louis Poinsot en 1810, y algunas personas lo bautizaron en su honor como sólido de Poinsot . En cuanto a los antecedentes, Poinsot redescubrió otros dos sólidos que ya habían sido descubiertos por Johannes Kepler : el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado . [3] Sin embargo, el gran dodecaedro apareció en la Perspectiva Corporum Regularium de 1568 de Wenzel Jamnitzer , aunque su dibujo es algo similar. [6]
El gran dodecaedro apareció en la cultura popular y en los juguetes. Un ejemplo es el rompecabezas de la Estrella de Alexander , un cubo de Rubik que se basa en un gran dodecaedro. [7]
El compuesto del pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro es un compuesto poliédrico en el que el gran dodecaedro es interno a su dual , el pequeño dodecaedro estrellado . Esto puede verse como uno de los dos equivalentes tridimensionales del compuesto de dos pentagramas ({10/4} " decagramo "); esta serie continúa en la cuarta dimensión como compuestos de 4-politopos estelares .
Un proceso de truncamiento aplicado al gran dodecaedro produce una serie de poliedros uniformes no convexos . El truncamiento de las aristas hasta las puntas produce el dodecadodecaedro como un gran dodecaedro rectificado. El proceso se completa como una birectificación, reduciendo las caras originales hasta las puntas y produciendo el pequeño dodecaedro estrellado .
Comparte la misma disposición de aristas que el icosaedro regular convexo ; el compuesto con ambos es el icosidodecaedro complejo pequeño .
