Teseracto truncado (acrónimo tat) (George Olshevsky y Jonathan Bowers) [1]
Construcción
El teseracto truncado se puede construir truncando los vértices del teseracto en la longitud de la arista. Se forma un tetraedro regular en cada vértice truncado.
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un teseracto truncado con una longitud de arista de 2 se dan mediante todas las permutaciones de:
Proyecciones
Una proyección estereoscópica 3D de un teseracto truncado.
En la primera proyección paralela del cubo truncado del teseracto truncado en el espacio tridimensional, la imagen se presenta de la siguiente manera:
La envolvente de proyección es un cubo .
Dos de las celdas del cubo truncado se proyectan sobre un cubo truncado inscrito en la envoltura cúbica.
Los otros 6 cubos truncados se proyectan sobre las caras cuadradas del sobre.
Los 8 volúmenes tetraédricos entre la envoltura y las caras triangulares del cubo truncado central son las imágenes de los 16 tetraedros, un par de celdas para cada imagen.
El teseracto bitruncado , bitruncado de 16 celdas o teseractihexadecacoron se construye mediante una operación de bitruncación aplicada al teseracto . También se lo puede llamar teseracto runcicántico con la mitad de los vértices de un teseracto runcicantelado con unconstrucción.
Tesseractihexadecachoron (acrónimo tah) (George Olshevsky y Jonathan Bowers) [2]
Construcción
Un teseracto se bitrunca truncando sus celdas más allá de sus puntos medios, convirtiendo los ocho cubos en ocho octaedros truncados . Estos aún comparten sus caras cuadradas, pero las caras hexagonales forman tetraedros truncados que comparten sus caras triangulares entre sí.
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un teseracto bitruncado que tiene una longitud de arista de 2 se dan mediante todas las permutaciones de:
Estructura
Los octaedros truncados están conectados entre sí por sus caras cuadradas, y con los tetraedros truncados por sus caras hexagonales. Los tetraedros truncados están conectados entre sí por sus caras triangulares.
Proyecciones
Proyecciones estereográficas
La proyección del octaedro truncado primero del teseracto bitruncado en el espacio 3D tiene una envoltura cúbica truncada . Dos de las celdas octaédricas truncadas se proyectan sobre un octaedro truncado inscrito en esta envoltura, con las caras cuadradas tocando los centros de las caras octaédricas. Las 6 caras octaédricas son las imágenes de las 6 celdas octaédricas truncadas restantes. El espacio restante entre el octaedro truncado inscrito y la envoltura está ocupado por 8 tetraedros truncados aplanados, cada uno de los cuales es la imagen de un par de celdas tetraédricas truncadas.
El teseracto cántico truncado de 16 celdas , hexadecacoron truncado , que está limitado por 24 celdas : 8 octaedros regulares y 16 tetraedros truncados . Tiene la mitad de los vértices de un teseracto cantelado con construcción.
Teseracto cántico de dieciséis celdas truncado ( Norman W. Johnson )
Hexadecacoron truncado (acrónimo thex) (George Olshevsky y Jonathan Bowers) [3]
Construcción
El sistema de 16 celdas truncadas se puede construir a partir de las 16 celdas truncando sus vértices en 1/3 de la longitud de la arista. Esto da como resultado las 16 celdas tetraédricas truncadas y presenta los 8 octaedros (figuras de vértices).
(Al truncar una celda de 16 a la mitad de la longitud del borde se obtiene una celda de 24 , que tiene un mayor grado de simetría porque las celdas truncadas se vuelven idénticas a las figuras de los vértices).
Las coordenadas cartesianas de los vértices de una celda truncada de 16 que tiene una longitud de arista de √2 se dan mediante todas las permutaciones y combinaciones de signos de
(0,0,1,2)
Una construcción alternativa comienza con un semiteseracto con coordenadas de vértice (±3,±3,±3,±3), que tiene un número par de cada signo, y lo trunca para obtener las permutaciones de
(1,1,3,3), con un número par de cada signo.
Estructura
Los tetraedros truncados están unidos entre sí por sus caras hexagonales. Los octaedros están unidos a los tetraedros truncados por sus caras triangulares.
Proyecciones
Centrado en el octaedro
Octaedro: primera proyección paralela en 3 dimensiones, con celdas octaédricas resaltadas
La proyección paralela del octaedro primero de la celda truncada de 16 en el espacio tridimensional tiene la siguiente estructura:
Las 6 caras cuadradas de la envolvente son las imágenes de 6 de las celdas octaédricas.
En el centro de la envoltura se encuentra un octaedro, unido al centro de las 6 caras cuadradas por 6 aristas. Esta es la imagen de las otras 2 celdas octaédricas.
El espacio restante entre la envoltura y el octaedro central está ocupado por 8 tetraedros truncados (distorsionados por la proyección). Éstas son las imágenes de las 16 celdas tetraédricas truncadas, un par de celdas por cada imagen.
Esta disposición de las celdas en la proyección es análoga a la disposición de las caras en la proyección del octaedro truncado en el espacio bidimensional. Por lo tanto, el truncado de 16 celdas puede considerarse el análogo en cuatro dimensiones del octaedro truncado.
Centrado en el tetraedro truncado
Proyección de 16 células truncadas en 3 dimensiones, centrada en la célula tetraédrica truncada, con las células ocultas eliminadas
La primera proyección paralela del tetraedro truncado de 16 celdas en el espacio tridimensional tiene la siguiente estructura:
El tetraedro truncado más cercano al punto de vista 4D se proyecta hacia el centro de la envolvente, con sus caras triangulares unidas a 4 volúmenes octaédricos que lo conectan a 4 de las caras triangulares de la envolvente.
El espacio restante en la envoltura está ocupado por otros cuatro tetraedros truncados.
Estos volúmenes son las imágenes de las celdas que se encuentran en el lado cercano de las 16 celdas truncadas; las otras celdas se proyectan sobre la misma disposición excepto en la configuración dual.
Las seis caras octogonales de la envolvente de proyección son las imágenes de las 6 celdas tetraédricas truncadas restantes.
Imágenes
Politopos relacionados
Un truncamiento de 16 celdas, como un 4-cubo cántico, está relacionado con la familia dimensional de n-cubos cánticos:
Politopos uniformes relacionados
Politopos uniformes relacionados en simetría semitransparente
Politopos uniformes relacionados en simetría teseracto
Notas
^ Klitzing, (o3o3o4o - tat)
^ Klitzing, (o3x3x4o - tah)
^ Klitzing, (x3x3o4o - elx)
Referencias
T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
Coxeter, Regular Polytopes , (3.ª edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 , pág. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)
HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.ª edición, Dover Nueva York, 1973, pág. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)
Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
(Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
(Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
(Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 409: Hemicubos: 1 n1 )
