En geometría de seis dimensiones , el politopo 2 21 es un politopo 6-uniforme , construido dentro de la simetría del grupo E 6. Fue descubierto por Thorold Gosset , publicado en su artículo de 1900. Lo llamó figura semirregular 6-ica . [1] También se le llama politopo Schläfli .
Su símbolo de Coxeter es 2 21 , que describe su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo en el extremo de una de las secuencias de 2 nodos. También estudió [2] su conexión con las 27 líneas de la superficie cúbica , que se corresponden naturalmente con los vértices de 2 21 .
El 2 21 rectificado se construye mediante puntos en los bordes medios del 2 21 . El 2 21 birectificado se construye mediante puntos en los centros de las caras triangulares del 2 21 , y es el mismo que el 1 22 rectificado .
Estos politopos son parte de una familia de 39 politopos uniformes convexos en 6 dimensiones , compuestos por facetas de 5 politopos uniformes y figuras de vértice , definidos por todas las permutaciones de anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin :
.
El 2 21 tiene 27 vértices y 99 facetas: 27 5-ortoplexes y 72 5-símplices . Su figura de vértice es un 5-demicubo .
Para su visualización, este politopo de 6 dimensiones suele mostrarse en una dirección de proyección ortográfica sesgada especial que encaja sus 27 vértices dentro de un polígono regular de 12 gonales (llamado polígono de Petrie ). Sus 216 aristas se dibujan entre 2 anillos de 12 vértices y 3 vértices se proyectan en el centro. También se pueden extraer y dibujar elementos superiores (caras, celdas, etc.) en esta proyección.
El gráfico de Schläfli es el 1-esqueleto de este politopo.
Los 27 vértices se pueden expresar en el espacio 8 como una figura de arista del politopo 4 21 :
(-2, 0, 0, 0,-2, 0, 0, 0),(0,-2, 0, 0,-2, 0, 0, 0),(0, 0,-2, 0,-2, 0, 0, 0),(0, 0, 0,-2,-2, 0, 0, 0),(0, 0, 0, 0,-2, 0, 0,-2),(0, 0, 0, 0, 0,-2,-2, 0)
(2, 0, 0, 0,-2, 0, 0, 0),(0, 2, 0, 0,-2, 0, 0, 0),(0, 0, 2, 0,-2, 0, 0, 0),(0, 0, 0, 2,-2, 0, 0, 0),(0, 0, 0, 0,-2, 0, 0, 2)
(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1),(-1,-1,-1, 1,-1,-1,-1, 1),(-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1, 1),(-1,-1, 1, 1,-1,-1,-1,-1),(-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1, 1),(-1, 1,-1, 1,-1,-1,-1,-1),(-1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1),( 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1, 1),(1,-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1),(1,-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1),(1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1),(-1, 1, 1, 1,-1,-1,-1, 1),(1,-1, 1,-1,-1,-1,-1, 1),(1, 1,-1, 1,-1,-1,-1, 1),(1, 1, 1,-1,-1,-1,-1, 1),(1, 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1)
Su construcción está basada en el grupo E 6 .
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin ,
.
Al eliminar el nodo de la rama corta queda el 5-símplex ..
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes, queda el 5-ortoplex en su forma alternada: ( 2 11 ),.
Cada faceta simplex toca una faceta 5-ortoplex, mientras que facetas alternas del ortoplex tocan un simplex u otro ortoplex.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto produce un demicubeo de 5 (politopo de 1 21 ),La figura de arista es la figura de vértice de la figura de vértice, un politopo rectificado de 5 celdas (0 21 ),
.
Vistos en una matriz de configuración , los recuentos de elementos se pueden derivar de los órdenes del grupo de Coxeter . [5]
Los vértices se colorean según su multiplicidad en esta proyección, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo. El número de vértices por color se indica entre paréntesis.
El 2 21 está relacionado con el de 24 celdas mediante un plegado geométrico de los diagramas de Coxeter-Dynkin E6/F4 . Esto se puede ver en las proyecciones del plano de Coxeter . Los 24 vértices del de 24 celdas se proyectan en los mismos dos anillos que se ven en el 2 21 .
Este politopo puede teselar el espacio euclidiano 6, formando el panal de abejas 2 22 con este diagrama de Coxeter-Dynkin:
.
El polígono complejo regular 3 {3} 3 {3} 3 ,
, tiene una representación real como el politopo 2 21 ,
, en un espacio de 4 dimensiones. Se denomina poliedro de Hess en honor a Edmund Hess . Tiene 27 vértices, 72 aristas de 3 lados y 27 caras de 3{3}3. Su grupo de reflexión complejo es 3 [3] 3 [3] 3 , de orden 648.
El 2 21 es el cuarto de una serie dimensional de politopos semirregulares . Cada politopo uniforme progresivo es una figura de vértice construida a partir del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 como la que contiene todas las facetas de politopos regulares , que contienen todos los símplex y ortoplexes .
El politopo 2 21 es el cuarto en la serie dimensional 2 k2 .
El politopo 2 21 es el segundo en la serie dimensional 2 2k .
El prisma 2 21 rectificado tiene 216 vértices y 126 facetas: 72 5-símplices rectificados , 27 5-ortoplexes rectificados y 27 5-demicubos . Su figura de vértice es un prisma de 5 celdas rectificado .
Su construcción se basa en el grupo E 6 y la información se puede extraer del diagrama anillado de Coxeter-Dynkin que representa este politopo:.
Quitando el anillo de la rama corta queda el 5-simplex rectificado ..
Al quitar el anillo en el extremo de la otra rama de 2 longitudes, queda el 5-ortoplex rectificado en su forma alternada: t 1 (2 11 ) ,.
Quitando el anillo en el extremo de la misma rama de 2 longitudes queda el demicubo 5 : (1 21 ) ,.
La figura del vértice se determina eliminando el anillo anillado y anillando el anillo vecino. Esto produce un prisma rectificado de 5 celdas , t 1 {3,3,3}x{},
.
Los vértices se colorean según su multiplicidad en esta proyección, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo.
El 2 21 truncado tiene 432 vértices, 5040 aristas, 4320 caras, 1350 celdas y 126 caras de 4. Su figura de vértice es una pirámide rectificada de 5 celdas .
Los vértices se colorean según su multiplicidad en esta proyección, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul, violeta.
