Singleton (matemáticas)

Conjunto con exactamente un elemento

En matemáticas , un singleton (también conocido como conjunto unitario ^[1] o conjunto de un punto ) es un conjunto con exactamente un elemento . Por ejemplo, el conjunto es un singleton cuyo único elemento es . ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 0}$

Propiedades

En el marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de regularidad garantiza que ningún conjunto es un elemento de sí mismo. Esto implica que un singleton es necesariamente distinto del elemento que contiene, ^[1] por lo tanto 1 y no son la misma cosa, y el conjunto vacío es distinto del conjunto que contiene solo el conjunto vacío. Un conjunto como es un singleton ya que contiene un solo elemento (que en sí mismo es un conjunto, pero no un singleton). ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{\{1,2,3\}\}}$

Un conjunto es un singleton si y solo si su cardinalidad es 1. En la construcción de los números naturales basada en la teoría de conjuntos de von Neumann , el número 1 se define como el singleton. ${\displaystyle \{0\}.}$

En la teoría de conjuntos axiomáticos , la existencia de singletons es una consecuencia del axioma de emparejamiento : para cualquier conjunto A , el axioma aplicado a A y A afirma cuya existencia es la misma que la del singleton (ya que contiene a A , y a ningún otro conjunto, como elemento). ${\displaystyle \{A,A\},}$ ${\displaystyle \{A\}}$

Si A es un conjunto cualquiera y S es un singleton cualquiera, entonces existe precisamente una función de A a S , la función que envía cada elemento de A al elemento único de S . Por lo tanto, cada singleton es un objeto terminal en la categoría de conjuntos .

Un singleton tiene la propiedad de que toda función que lo une a cualquier conjunto arbitrario es inyectiva. El único conjunto no singleton con esta propiedad es el conjunto vacío .

Todo conjunto singleton es un ultraprefiltro . Si es un conjunto y entonces el superior de en el que es el conjunto es un ultrafiltro principal en . Además, todo ultrafiltro principal en es necesariamente de esta forma. ^[2] El lema del ultrafiltro implica que existen ultrafiltros no principales en cada conjunto infinito (estos se denominan ultrafiltros libres ). Toda red valorada en un subconjunto singleton de es una ultrared en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{S\subseteq X:x\in S\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

La secuencia de números enteros de Bell cuenta el número de particiones de un conjunto ( OEIS : A000110 ), si se excluyen los singletons, los números son más pequeños ( OEIS : A000296 ).

En la teoría de categorías

Las estructuras construidas sobre singletons a menudo sirven como objetos terminales u objetos cero de varias categorías :

• La afirmación anterior muestra que los conjuntos singleton son precisamente los objetos terminales en la categoría Conjunto de conjuntos . Ningún otro conjunto es terminal.
• Cualquier singleton admite una estructura espacial topológica única (ambos subconjuntos son abiertos). Estos espacios topológicos singleton son objetos terminales en la categoría de espacios topológicos y funciones continuas . Ningún otro espacio es terminal en esa categoría.
• Cualquier singleton admite una estructura de grupo única (el elemento único que sirve como elemento identidad ). Estos grupos singleton son objetos cero en la categoría de grupos y homomorfismos de grupo . Ningún otro grupo es terminal en esa categoría.

Definición por funciones indicadoras

Sea S una clase definida por una función indicadora. Entonces S se llama singleton si y solo si existe alguno tal que para todo $${\displaystyle b:X\to \{0,1\}.}$$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle b(x)=(x=y).}$$

Definición enPrincipios matemáticos

La siguiente definición fue introducida por Whitehead y Russell ^[3]

${\displaystyle \iota }$' Df. ${\displaystyle x={\hat {y}}(y=x)}$

El símbolo ' denota el singleton y denota la clase de objetos idénticos a aka . Esto aparece como una definición en la introducción, que, en algunos lugares, simplifica el argumento en el texto principal, donde aparece como proposición 51.01 (p. 357 ibid.). La proposición se utiliza posteriormente para definir el número cardinal 1 como ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle {\hat {y}}(y=x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{y:y=x\}}$

${\displaystyle 1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota }$' Df. ${\displaystyle x)}$

Es decir, 1 es la clase de singletons. Ésta es la definición 52.01 (p. 363 ibid.)

Véase también

• Clase (teoría de conjuntos)  : Colección de conjuntos en matemáticas que se pueden definir en función de una propiedad de sus miembros.
• Punto aislado  – Punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S
• Cuantificación de unicidad  : propiedad lógica de ser el único objeto que satisface una condición
• Urelement  – ​​Concepto en la teoría de conjuntos

Referencias

1. Stoll, Robert (1961). Conjuntos, lógica y teorías axiomáticas . WH Freeman and Company. págs. 5-6.
2. Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific Publishing. págs. 27–54. doi :10.1142/9012. ISBN. 978-981-4571-52-4.Sr. 3497013  .
3. Whitehead, Alfred North; Bertrand Russell (1910). Principia Mathematica . Vol. I. pág. 37.