En matemáticas, el álgebra de Hecke de un par ( G , K ) de grupos de Lie localmente compactos o reductivos es un álgebra de medidas bajo convolución . También puede definirse para un par ( g , K ) de un subgrupo compacto maximalista K de un grupo de Lie con álgebra de Lie g , en cuyo caso el álgebra de Hecke es un álgebra con una identidad aproximada , cuyos módulos aproximadamente unitarios son los mismos que las representaciones K -finitas de los pares ( g , K ).
El álgebra de Hecke de un par es una generalización del álgebra de Hecke clásica estudiada por Erich Hecke , que corresponde al caso (GL 2 ( Q ), GL 2 ( Z )).
Sea ( G , K ) un par formado por un grupo topológico localmente compacto unimodular G y un subgrupo cerrado K de G . Entonces el espacio de funciones continuas bi- K -invariantes de soporte compacto
puede dotarse de una estructura de álgebra asociativa bajo la operación de convolución . [1] Esta álgebra a menudo se denota
y se llama álgebra de Hecke del par ( G , K ).
Si ( G , K ) es un par Gelfand entonces el álgebra de Hecke resulta ser conmutativa.
En 1979, Daniel Flath dio una construcción similar para los grupos de Lie reductivos generales G . [2] El álgebra de Hecke de un par ( g , K ) de un álgebra de Lie g con grupo de Lie G y subgrupo compacto maximalista K es el álgebra de distribuciones K -finitas en G con apoyo en K , con el producto dado por convolución . [3] [4]
Cuando G es un grupo finito y K es cualquier subgrupo de G , entonces el álgebra de Hecke está abarcada por clases laterales dobles de H \ G / H .
Para el grupo lineal especial sobre los números p -ádicos ,
Las representaciones del anillo de Hecke conmutativo correspondiente fueron estudiadas por Ian G. Macdonald .
Para el grupo lineal general sobre los números racionales ,
El álgebra de Hecke del par ( G , K es el álgebra de Hecke clásica , que es el anillo conmutativo de operadores de Hecke en la teoría de formas modulares .
El caso que conduce al álgebra de Iwahori-Hecke de un grupo de Weyl finito es cuando G es el grupo de Chevalley finito sobre un cuerpo finito con p k elementos, y B es su subgrupo de Borel . Iwahori demostró que el anillo de Hecke
se obtiene a partir del álgebra genérica de Hecke H q del grupo de Weyl W de G especializando la indeterminada q de esta última álgebra en p k , la cardinalidad del cuerpo finito. George Lusztig señaló en 1984: [5]
Creo que lo más apropiado sería llamarlo álgebra de Iwahori, pero el nombre de anillo de Hecke (o álgebra) dado por el propio Iwahori ha estado en uso durante casi 20 años y probablemente sea demasiado tarde para cambiarlo ahora.
Iwahori y Matsumoto (1965) consideraron el caso cuando G es un grupo de puntos de un grupo algebraico reductivo sobre un cuerpo local no arquimediano F , tal como Q p , y K es lo que ahora se llama un subgrupo de Iwahori de G . El anillo de Hecke resultante es isomorfo al álgebra de Hecke del grupo de Weyl afín de G , o al álgebra de Hecke afín , donde el indeterminado q ha sido especializado a la cardinalidad del cuerpo de residuos de F .