Espiral logarítmica

Curva de crecimiento autosimilar

Espiral logarítmica ( paso 10°)

Una sección del conjunto de Mandelbrot que sigue una espiral logarítmica

Una espiral logarítmica , espiral equiangular o espiral de crecimiento es una curva espiral autosimilar que aparece a menudo en la naturaleza. El primero en describir una espiral logarítmica fue Alberto Durero (1525), quien la llamó una "línea eterna" ("ewige Linie"). ^{[1] [2]} Más de un siglo después, la curva fue analizada por Descartes (1638), y luego investigada ampliamente por Jacob Bernoulli , quien la llamó Spira mirabilis , "la espiral maravillosa".

La espiral logarítmica se puede distinguir de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre las espiras de una espiral logarítmica aumentan en progresión geométrica , mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

Definición

En coordenadas polares la espiral logarítmica se puede escribir como ^[3] o con siendo la base de los logaritmos naturales , y , siendo constantes reales. ${\displaystyle (r,\varphi )}$ $${\displaystyle r=ae^{k\varphi },\quad \varphi \in \mathbb {R} ,}$$ $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{k}}\ln {\frac {r}{a}},}$$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle k\neq 0}$

En coordenadas cartesianas

La espiral logarítmica con ecuación polar se puede representar en coordenadas cartesianas mediante En el plano complejo : $${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$$ ${\displaystyle (x=r\cos \varphi ,\,y=r\sin \varphi )}$ $${\displaystyle x=ae^{k\varphi }\cos \varphi ,\qquad y=ae^{k\varphi }\sin \varphi .}$$ ${\displaystyle (z=x+iy,\,e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ $${\displaystyle z=ae^{(k+i)\varphi }.}$$

Spira mirabilisy Jacob Bernoulli

Spira mirabilis , que en latín significa «espiral milagrosa», es otro nombre para la espiral logarítmica. Aunque esta curva ya había sido nombrada por otros matemáticos, el nombre específico (espiral «milagrosa» o «maravillosa») se lo dio Jacob Bernoulli , porque estaba fascinado por una de sus propiedades matemáticas únicas: el tamaño de la espiral aumenta pero su forma no se altera con cada curva sucesiva, una propiedad conocida como autosimilitud . Posiblemente como resultado de esta propiedad única, la spira mirabilis ha evolucionado en la naturaleza, apareciendo en ciertas formas crecientes como las conchas de nautilus y las cabezas de girasol . Jacob Bernoulli quería que se grabara una espiral de este tipo en su lápida junto con la frase « Eadem mutata resurgo » («Aunque cambie, surgiré igual.»), pero, por error,se colocó allí una espiral de Arquímedes . ^{[4] [5]}

Propiedades

Definición de ángulo de pendiente y sector

Animación que muestra el ángulo constante entre un círculo que se cruza centrado en el origen y una espiral logarítmica.

La espiral logarítmica tiene las siguientes propiedades (ver Espiral ): ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }\;,\;k\neq 0,}$

• Ángulo de inclinación : ${\displaystyle \tan \alpha =k\quad ({\color {red}{\text{constant !}}})}$
  con ángulo de inclinación (ver diagrama y animación). ${\displaystyle \alpha }$
  (En caso de que el ángulo fuera 0 y la curva un círculo con radio .) ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$
• Curvatura : ${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}={\frac {\cos \alpha }{r}}}$
• Longitud del arco : ${\displaystyle L(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}={\frac {r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1})}{\sin \alpha }}}$
  Especialmente: , si . ${\displaystyle \ L(-\infty ,\varphi _{2})={\frac {r(\varphi _{2})}{\sin \alpha }}\quad ({\color {red}{\text{finite !}}})\;}$ ${\displaystyle k>0}$
  Esta propiedad fue comprendida por primera vez por Evangelista Torricelli incluso antes de que se inventara el cálculo . ^[6]
• Área sectorial: ${\displaystyle A={\frac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2}}{4k}}}$
• Inversión: La inversión circular ( ) asigna la espiral logarítmica a la espiral logarítmica. ${\displaystyle r\to 1/r}$ ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\,.}$

Ejemplos de ${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$

• Rotación, escala : al rotar la espiral en un ángulo se obtiene la espiral , que es la espiral original escalada uniformemente (en el origen) por . ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle r=ae^{-k\varphi _{0}}e^{k\varphi }}$ ${\displaystyle e^{-k\varphi _{0}}}$
  Al escalar se obtiene la misma curva. ${\displaystyle \;e^{kn2\pi }\;,n=\pm 1,\pm 2,...,\;}$
• Autosimilitud : Resultado de la propiedad anterior:
  Una espiral logarítmica escalada es congruente (por rotación) con la curva original.
  Ejemplo: El diagrama muestra espirales con un ángulo de pendiente y . Por lo tanto, todas son copias a escala de la roja. Pero también se pueden generar rotando la roja en ángulos respectivamente. Todas las espirales no tienen puntos en común (consulte la propiedad de la función exponencial compleja ). ${\displaystyle \alpha =20^{\circ }}$ ${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$ ${\displaystyle -109^{\circ },-173^{\circ },-218^{\circ },-253^{\circ }}$
• Relación con otras curvas: Las espirales logarítmicas son congruentes con sus propias involutas , evolutas y curvas pedales basadas en sus centros.
• Función exponencial compleja : La función exponencial asigna exactamente todas las líneas no paralelas al eje real o imaginario en el plano complejo a todas las espirales logarítmicas en el plano complejo con centro en : El ángulo de inclinación de la espiral logarítmica es el ángulo entre la línea y el eje imaginario. ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle z(t)=\underbrace {(kt+b)\;+it} _{\text{line}}\quad \to \quad e^{z(t)}=e^{kt+b}\cdot e^{it}=\underbrace {e^{b}e^{kt}(\cos t+i\sin t)} _{\text{log. spiral}}}$$ ${\displaystyle \alpha }$

Casos especiales y aproximaciones

La espiral áurea es una espiral logarítmica que crece hacia afuera en un factor de la proporción áurea por cada 90 grados de rotación (ángulo de inclinación de aproximadamente 17,03239 grados). Se puede aproximar a una "espiral de Fibonacci", formada por una secuencia de cuartos de círculo con radios proporcionales a los números de Fibonacci .

En la naturaleza

Corte transversal de la concha de un nautilus que muestra las cámaras dispuestas en una espiral aproximadamente logarítmica. La espiral representada (curva discontinua azul) se basa en el parámetro de tasa de crecimiento , lo que da como resultado un paso de . ${\displaystyle b=0.1759}$ ${\displaystyle \arctan b\approx 10^{\circ }}$

En varios fenómenos naturales se pueden encontrar curvas que se acercan a las espirales logarítmicas. A continuación se presentan algunos ejemplos y razones:

• El acercamiento de un halcón a su presa en persecución clásica , suponiendo que la presa se desplaza en línea recta. Su visión más nítida se realiza en un ángulo con respecto a su dirección de vuelo; este ángulo es el mismo que el paso de la espiral. ^[7]
• La aproximación de un insecto a una fuente de luz. Están acostumbrados a que la fuente de luz forme un ángulo constante con respecto a su trayectoria de vuelo. Por lo general, el Sol (o la Luna para las especies nocturnas) es la única fuente de luz y volar de esa manera dará como resultado una línea prácticamente recta. ^[8]
• Los brazos de las galaxias espirales . ^[9] La Vía Láctea tiene varios brazos espirales, cada uno de los cuales es aproximadamente una espiral logarítmica con un paso de unos 12 grados. ^[10] Sin embargo, aunque las galaxias espirales a menudo se han modelado como espirales logarítmicas, espirales de Arquímedes o espirales hiperbólicas , sus ángulos de paso varían con la distancia desde el centro galáctico, a diferencia de las espirales logarítmicas (para las que este ángulo no varía), y también en desacuerdo con las otras espirales matemáticas utilizadas para modelarlas. ^[11]
• Los nervios de la córnea (es decir, los nervios corneales de la capa subepitelial terminan cerca de la capa epitelial superficial de la córnea en un patrón espiral logarítmico). ^[12]
• Las bandas de ciclones tropicales , como los huracanes. ^[13]
• Muchas estructuras biológicas , incluidas las conchas de los moluscos . ^[14] En estos casos, la razón puede ser la construcción a partir de la expansión de formas similares, como es el caso de las figuras poligonales .
• Las playas en espiral logarítmica pueden formarse como resultado de la refracción y difracción de las olas por la costa. Half Moon Bay (California) es un ejemplo de este tipo de playa. ^[15]

En aplicaciones de ingeniería

• Las antenas espirales logarítmicas son antenas independientes de la frecuencia, es decir, antenas cuyo patrón de radiación, impedancia y polarización permanecen prácticamente inalterados en un amplio ancho de banda. ^[17]
• Al fabricar mecanismos mediante máquinas de fabricación sustractiva (como cortadoras láser ), puede haber una pérdida de precisión cuando el mecanismo se fabrica en una máquina diferente debido a la diferencia de material eliminado (es decir, la ranura ) por cada máquina en el proceso de corte. Para ajustar esta variación de la ranura, se ha utilizado la propiedad de autosimilitud de la espiral logarítmica para diseñar un mecanismo de cancelación de ranura para cortadoras láser. ^[18]
• Los engranajes cónicos espirales logarítmicos son un tipo de engranaje cónico espiral cuya línea central de los dientes del engranaje es una espiral logarítmica. Una espiral logarítmica tiene la ventaja de proporcionar ángulos iguales entre la línea central de los dientes y las líneas radiales, lo que le da más estabilidad a la transmisión por engranaje. ^[19]

• En la escalada en roca , los dispositivos de levas accionados por resorte están hechos de levas de metal cuyas superficies de agarre externas tienen forma de arcos de espirales logarítmicas. Cuando el dispositivo se inserta en una grieta de la roca, la rotación de estas levas expande su ancho combinado para que coincida con el ancho de la grieta, al mismo tiempo que mantiene un ángulo constante contra la superficie de la roca (en relación con el centro de la espiral, donde se aplica la fuerza). El ángulo de inclinación de la espiral se elige para optimizar la fricción del dispositivo contra la roca. ^[20]

Véase también

• Espiral de Arquímedes
• Epiespiral
• Lista de espirales
• Problema de los ratones , un problema geométrico que pide el camino que siguen los ratones al perseguirse unos a otros cuya solución es una espiral logarítmica.
• Teorema de Tait-Kneser

Referencias

1. Alberto Durero (1525). Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen.
2. Hammer, Øyvind (2016). "El secreto sucio de Durero". La forma perfecta: historias en espiral . Springer International Publishing. págs. 173-175. doi :10.1007/978-3-319-47373-4_41. ISBN . 978-3-319-47372-7.
3. Priya Hemenway (2005). Proporción divina: Φ Phi en el arte, la naturaleza y la ciencia . Sterling Publishing Co. ISBN 978-1-4027-3522-6.
4. Livio, Mario (2002). La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo . Nueva York: Broadway Books. ISBN 978-0-7679-0815-3.
5. Yates, RC: Un manual sobre curvas y sus propiedades , JW Edwards (1952), "Evolutes". pág. 206.
6. Carl Benjamin Boyer (1949). Historia del cálculo y su desarrollo conceptual. Courier Dover Publications. pág. 133. ISBN 978-0-486-60509-8.
7. Chin, Gilbert J. (8 de diciembre de 2000). "Biología de los organismos: vuelo a lo largo de una espiral logarítmica". Science . 290 (5498): 1857. doi :10.1126/science.290.5498.1857c. S2CID  180484583.
8. John Himmelman (2002). Descubriendo polillas: joyas nocturnas en tu propio patio trasero. Down East Enterprise Inc. pág. 63. ISBN 978-0-89272-528-1.
9. G. Bertin y CC Lin (1996). Estructura espiral en galaxias: una teoría de ondas de densidad. MIT Press. p. 78. ISBN 978-0-262-02396-2.
10. David J. Darling (2004). El libro universal de las matemáticas: desde Abracadabra hasta las paradojas de Zenón. John Wiley and Sons. pág. 188. ISBN 978-0-471-27047-8.
11. Savchenko, SS; Reshetnikov, VP (septiembre de 2013). "Variaciones del ángulo de inclinación en galaxias espirales". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 436 (2): 1074–1083. arXiv : 1309.4308 . doi : 10.1093/mnras/stt1627 .
12. CQ Yu CQ y MI Rosenblatt, "Neurofluorescencia corneal transgénica en ratones: un nuevo modelo para la investigación in vivo de la estructura y regeneración nerviosa", Invest Ophthalmol Vis Sci. 2007 Abr;48(4):1535-42.
13. Andrew Gray (1901). Tratado de física, volumen 1. Churchill. págs. 356-357.
14. Michael Cortie (1992). "La forma, función y síntesis de la concha de los moluscos". En István Hargittai y Clifford A. Pickover (ed.). Simetría espiral . World Scientific. pág. 370. ISBN 978-981-02-0615-4.
15. Allan Thomas Williams y Anton Micallef (2009). Gestión de playas: principios y práctica. Earthscan. pág. 14. ISBN 978-1-84407-435-8.
16. "mecanismos de cancelación de cortes". hpi.de . Consultado el 26 de diciembre de 2020 .
17. Mayes, PE (1992). "Antenas independientes de la frecuencia y derivados de banda ancha de las mismas". Actas del IEEE . 80 (1): 103–112. Bibcode :1992IEEEP..80..103M. doi :10.1109/5.119570.
18. Roumen, Thijs; Apel, Ingo; Shigeyama, Jotaro; Muhammad, Abdullah; Baudisch, Patrick (20 de octubre de 2020). "Mecanismos de cancelación de corte: hacer que los mecanismos de corte por láser funcionen en diferentes cortadoras láser". Actas del 33.° Simposio anual de la ACM sobre software y tecnología de interfaz de usuario . Evento virtual EE. UU.: ACM. págs. 293–303. doi :10.1145/3379337.3415895. ISBN 978-1-4503-7514-6.ID S2C  222805227.
19. Jiang, Jianfeng; Luo, Qingsheng; Wang, Liting; Qiao, Lijun; Li, Minghao (2020). "Revisión sobre engranajes cónicos espirales logarítmicos". Revista de la Sociedad Brasileña de Ciencias Mecánicas e Ingeniería . 42 (8): 400. doi :10.1007/s40430-020-02488-y. ISSN  1678-5878.
20. Todesco, Gian Marco (2018). "Engranajes extraños". En Emmer, Michele; Abate, Marco (eds.). Imagine Math 6: Entre la cultura y las matemáticas . Springer International Publishing. págs. 179–193. doi :10.1007/978-3-319-93949-0_16. ISBN 9783319939490.

• Weisstein, Eric W. "Espiral logarítmica". MathWorld .
• Jim Wilson, Espiral equiangular (o espiral logarítmica) y sus curvas relacionadas, Universidad de Georgia (1999)
• Alexander Bogomolny , Spira Mirabilis - Espiral maravillosa, en el corte del nudo

Enlaces externos

• Historia y matemáticas de Spira mirabilis
• Imagen astronómica del día de la NASA: el huracán Isabel frente a la Galaxia del Remolino (25 de septiembre de 2003)
• Imagen astronómica del día de la NASA: el tifón Rammasun frente a la galaxia Pinwheel (17 de mayo de 2008)
• SpiralZoom.com, un sitio web educativo sobre la ciencia de la formación de patrones, espirales en la naturaleza y espirales en la imaginación mítica.
• Exploración en línea mediante JSXGraph (JavaScript)
• Conferencia en YouTube sobre el problema de los ratones de Zenón y las espirales logarítmicas