Trisectriz de Maclaurin

Curva plana cúbica

La trisectriz de Maclaurin como lugar geométrico de la intersección de dos rectas rotatorias

En geometría algebraica , la trisectriz de Maclaurin es una curva plana cúbica que destaca por su propiedad de trisectriz , lo que significa que se puede utilizar para trisecar un ángulo . Se puede definir como el lugar geométrico del punto de intersección de dos líneas , cada una de las cuales gira a una velocidad uniforme alrededor de puntos separados, de modo que la relación de las velocidades de rotación es 1:3 y las líneas coinciden inicialmente con la línea entre los dos puntos. Una generalización de esta construcción se denomina sectriz de Maclaurin . La curva recibe su nombre de Colin Maclaurin, quien investigó la curva en 1742.

Ecuaciones

Sean dos rectas que giran alrededor de los puntos y de modo que cuando la recta que gira alrededor de forma un ángulo con el eje x , la recta que gira alrededor de forma un ángulo . Sea el punto de intersección, entonces el ángulo formado por las rectas en es . Por la ley de los senos , ${\displaystyle P=(0,0)}$ ${\displaystyle P_{1}=(a,0)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle 3\theta }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 2\theta }$

${\displaystyle {r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }\!}$

Entonces la ecuación en coordenadas polares es (hasta la traslación y rotación)

${\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta ).\!}$

La curva es por tanto un miembro de la familia concoide de De Sluze .

En coordenadas cartesianas la ecuación de esta curva es

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}).\!}$

Si el origen se mueve a ( a , 0) entonces una derivación similar a la dada anteriormente muestra que la ecuación de la curva en coordenadas polares se convierte en

${\displaystyle r=2a\cos {\theta \over 3},\!}$

convirtiéndolo en un ejemplo de un limacon con un bucle.

La propiedad de trisección

La trisectriz de Maclaurin que muestra la propiedad de trisección del ángulo

Dado un ángulo , traza un rayo cuyo ángulo con el eje sea . Traza un rayo desde el origen hasta el punto donde el primer rayo interseca la curva. Luego, por la construcción de la curva, el ángulo entre el segundo rayo y el eje es . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi /3}$

Puntos y características destacables

La curva tiene una intersección con el eje x en y un punto doble en el origen. La línea vertical es una asíntota . La curva interseca la línea x = a, o el punto correspondiente a la trisección de un ángulo recto, en . Como cúbica nodal , es de género cero. ${\displaystyle 3a \over 2}$ ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ ${\displaystyle (a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})}$

Relación con otras curvas

La trisectriz de Maclaurin se puede definir a partir de secciones cónicas de tres maneras. En concreto:

• Es la inversa respecto del círculo unitario de la hipérbola.

${\displaystyle 2x=a(3x^{2}-y^{2}).}$

• Es cisoide del círculo.

${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

y la recta relativa al origen. ${\displaystyle x={a \over 2}}$

• Es el pedal con respecto al origen de la parábola.

${\displaystyle y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a).}$

Además:

• La inversa respecto del punto es la trisectriz de Limaçon . ${\displaystyle (a,0)}$
• La trisectriz de Maclaurin está relacionada con el folium de Descartes por transformación afín .

Referencias

• J. Dennis Lawrence (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. pp. 36, 95, 104–106. ISBN. 0-486-60288-5.
• Weisstein, Eric W. "Maclaurin Trisectrix". MundoMatemático .
• "Trisectriz de Maclaurin" en el índice de curvas famosas de MacTutor
• Trisectriz de Maclaurin en mathcurve.com
• "Trisectriz de Maclaurin" en el Diccionario visual de curvas planas especiales

Enlaces externos

• Loy, Jim "Trisección de un ángulo", Parte VI