La curva fue propuesta y estudiada por primera vez por René Descartes en 1638. [1] Su fama se debe a un incidente en el desarrollo del cálculo . Descartes desafió a Pierre de Fermat a encontrar la línea tangente a la curva en un punto arbitrario, ya que Fermat había descubierto recientemente un método para encontrar líneas tangentes. Fermat resolvió el problema fácilmente, algo que Descartes no pudo hacer. [2] Desde la invención del cálculo, la pendiente de la línea tangente se puede encontrar fácilmente utilizando la diferenciación implícita . [3]
Graficando la curva
El folio de Descartes se puede expresar en coordenadas polares como
se muestra en el gráfico de la izquierda. Esto es equivalente a [4]
Podemos ver que el parámetro está relacionado con la posición en la curva de la siguiente manera:
corresponde a , : el ala inferior derecha.
corresponde a , : el "ala" superior izquierda.
corresponde a , : el bucle de la curva.
Otra forma de representar gráficamente la función se puede derivar de la simetría sobre . La simetría se puede ver directamente a partir de su ecuación (x e y se pueden intercambiar). Aplicando una rotación de 45° en el sentido de las agujas del reloj, por ejemplo, se puede representar gráficamente la función simétrica sobre el eje x rotado.
Esta operación es equivalente a una sustitución:
y da como resultado
Trazando en el sistema cartesiano de se obtiene el folio rotado 45° y por lo tanto simétrico respecto al eje .
Propiedades
Forma un bucle en el primer cuadrante con un punto doble en el origen y la asíntota .
Es simétrica respecto de la recta . Por lo tanto, las dos se cortan en el origen y en el punto .
La diferenciación implícita da como resultado la fórmula para la pendiente de la línea tangente a esta curva, que es [3]. Si se utiliza cualquiera de las representaciones polares anteriores, se obtiene que el área del interior del bucle es . Además, el área entre las "alas" de la curva y su asíntota inclinada también es . [1]
Relación con la trisectriz de Maclaurin
El folio de Descartes está relacionado con la trisectriz de Maclaurin por transformación afín . Para ver esto, comience con la ecuación
y cambie las variables para encontrar la ecuación en un sistema de coordenadas rotado 45 grados. Esto equivale a establecer
En el plano la ecuación es
Si estiramos la curva en la dirección por un factor de esto se convierte
en la ecuación de la trisectriz de Maclaurin.
Notas
^ ab «Folium de Descartes». Enciclopedia de Matemáticas . 5 de junio de 2020 . Consultado el 30 de enero de 2021 .
^ Simmons, pág. 101
^ ab Stewart, James (2012). "Sección 3.5: Diferenciación implícita". Cálculo: trascendentales tempranos . Estados Unidos de América: Cengage Learning. págs. 209-11. ISBN978-0-538-49790-9.
^ "DiffGeom3: curvas parametrizadas y curvas algebraicas". NJ Wildberger, Universidad de Nueva Gales del Sur . Archivado desde el original el 21 de diciembre de 2021. Consultado el 5 de septiembre de 2013 .
Referencias
J. Dennis Lawrence: Un catálogo de curvas planas especiales , 1972, Dover Publications. ISBN 0-486-60288-5 , págs. 106-108
George F. Simmons : Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics , Nueva York 1992, McGraw-Hill, xiv, 355. ISBN 0-07-057566-5 ; nueva edición 2007, The Mathematical Association of America ( MAA )
Enlaces externos
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