Concoide de De Sluze

Familia de curvas algebraicas de la forma r = sec(θ) + a*cos(θ)

La concoide de de Sluze para varios valores de a

En geometría algebraica , las concoides de De Sluze son una familia de curvas planas estudiadas en 1662 por el matemático valón René François Walter , barón de Sluze. ^{[1] [2]}

Las curvas están definidas por la ecuación polar

${\displaystyle r=\sec \theta +a\cos \theta \,.}$

En coordenadas cartesianas , las curvas satisfacen la ecuación implícita

${\displaystyle (x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}\,}$

excepto que para a = 0 la forma implícita tiene un acnodo (0,0) no presente en la forma polar.

Son curvas planas racionales , circulares , cúbicas .

Estas expresiones tienen una asíntota x = 1 (para a ≠ 0 ). El punto más distante de la asíntota es (1 + a , 0) . (0,0) es un nodo cruzado para a < −1 .

El área entre la curva y la asíntota es, para a ≥ −1 ,

${\displaystyle |a|(1+a/4)\pi \,}$

mientras que para a < −1 , el área es

${\displaystyle \left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}-a\left(2+{\frac {a}{2}}\right)\arcsin {\frac {1}{\sqrt {-a}}}.}$

Si a < −1 , la curva tendrá un bucle. El área del bucle es

${\displaystyle \left(2+{\frac {a}{2}}\right)a\arccos {\frac {1}{\sqrt {-a}}}+\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}.}$

Cuatro miembros de la familia tienen nombres propios:

• a = 0 , recta (asíntota del resto de la familia)
• a = −1 , cisoide de Diocles
• a = −2 , estrofoide derecho
• a = −4 , trisectriz de Maclaurin

Referencias

1. Smith, David Eugene (1958), Historia de las matemáticas, Volumen 2, Courier Dover Publications, pág. 327, ISBN 9780486204307.
2. "Concoide de De Sluze por J. Dziok et al. en Computers and Mathematics with Applications 61 (2011) 2605–2613" (PDF) .