Serie de Fourier generalizada

Descomposiciones de espacios de productos internos en bases ortonormales.

En matemáticas , una serie de Fourier generalizada expande una función integrable al cuadrado definida en un intervalo sobre la recta real . Las funciones constituyentes en la expansión en serie forman una base ortonormal de un espacio producto interno . Mientras que una expansión en serie de Fourier consta únicamente de funciones trigonométricas , una serie de Fourier generalizada es una descomposición que involucra cualquier conjunto de funciones que satisfagan el problema de valores propios de Sturm-Liouville . Estas expansiones encuentran un uso común en la teoría de la interpolación . ^[1] Se expresa mediante una serie de sinusoides que se pueden expresar de varias formas. En esencia, se considera un par de funciones, donde t es una variable (generalmente tiempo) y myn son multiplicadores reales de t , que reflejan la longitud del intervalo.

Definición

Considere un conjunto de funciones integrables al cuadrado con valores en o , que son ortogonales por pares bajo el producto interno donde es una función de peso , y representan una conjugación compleja , es decir, para . ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ $${\displaystyle \Phi =\{\varphi _{n}:[a,b]\to \mathbb {F} \}_{n=0}^{\infty },}$$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g}}(x)\,w(x)\,dx,}$$ ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle {\overline {g}}}$ ${\displaystyle {\overline {g}}(x)=g(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$

La serie de Fourier generalizada de una función integrable al cuadrado , con respecto a Φ, es entonces donde los coeficientes están dados por ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {F} }$ $${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}(x),}$$ $${\displaystyle c_{n}={\langle f,\varphi _{n}\rangle _{w} \over \|\varphi _{n}\|_{w}^{2}}.}$$

Si Φ es un conjunto completo, es decir, una base ortogonal del espacio de todas las funciones integrables al cuadrado en [ a , b ], a diferencia de un conjunto ortogonal más pequeño, la relación se convierte en igualdad en el sentido L 2 , más precisamente módulo ( no necesariamente puntualmente, ni casi en todas partes ). ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle |\cdot |_{w}}$

Ejemplos

Serie Fourier-Legendre

Una función definida en toda la recta numérica se llama periódica con punto si hay un número tal que . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle \forall x:f(x+T)=f(x)}$

Si una función es periódica con periodo , entonces también lo es con periodos , etc. Habitualmente, se entiende por período de una función el número más pequeño de este tipo . Sin embargo, para algunas funciones, existen valores de arbitrariamente pequeños . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2T}$ ${\displaystyle 3T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

La secuencia de funciones se conoce como sistema trigonométrico. Cualquier combinación lineal de funciones de un sistema trigonométrico, incluida una combinación infinita (es decir, una serie infinita convergente ), es una función periódica con un período de 2π. ${\displaystyle 1,cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),...,cos(nx),sin(nx),...}$

En cualquier segmento de longitud 2π (como los segmentos [−π,π] y [0,2π]) el sistema trigonométrico es un sistema ortogonal . Esto significa que para dos funciones cualesquiera del sistema trigonométrico, la integral de su producto sobre un segmento de longitud 2π es igual a cero. Esta integral se puede tratar como un producto escalar en el espacio de funciones que son integrables en un segmento dado de longitud 2π.

Dejemos que la función se defina en el segmento [−π, π]. En condiciones suficientes, se puede representar en este segmento como una combinación lineal de funciones del sistema trigonométrico, también conocida como la expansión de la función en una serie trigonométrica de Fourier (convergiendo en todos los puntos del segmento [−π,π] excepto, quizás, por un número finito de puntos). ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Los polinomios de Legendre son soluciones al problema de Sturm-Liouville

${\displaystyle \left((1-x^{2})P_{n}'(x)\right)'+n(n+1)P_{n}(x)=0.}$

Como consecuencia de la teoría de Sturm-Liouville, estos polinomios son funciones propias ortogonales con respecto al producto interno anterior con peso unitario. Esto se puede escribir como una serie de Fourier generalizada (conocida como serie de Fourier-Legendre) que involucra los polinomios de Legendre, y

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}P_{n}(x),}$

${\displaystyle c_{n}={\langle f,P_{n}\rangle _{w} \over \|P_{n}\|_{w}^{2}}}$

Como ejemplo, la serie de Fourier-Legendre puede calcularse para más de . Entonces, ${\displaystyle f(x)=\cos x}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&={\int _{-1}^{1}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}(1)^{2}\,dx}=\sin {1}\\c_{1}&={\int _{-1}^{1}x\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx}={0 \over 2/3}=0\\c_{2}&={\int _{-1}^{1}{3x^{2}-1 \over 2}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}{9x^{4}-6x^{2}+1 \over 4}\,dx}={6\cos {1}-4\sin {1} \over 2/5}\end{aligned}}}$

y una serie que incluya estos términos sería

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}P_{2}(x)+c_{1}P_{1}(x)+c_{0}P_{0}(x)&={5 \over 2}(6\cos {1}-4\sin {1})\left({3x^{2}-1 \over 2}\right)+\sin 1\\&=\left({45 \over 2}\cos {1}-15\sin {1}\right)x^{2}+6\sin {1}-{15 \over 2}\cos {1}\end{aligned}}}$

que difieren de aproximadamente 0,003. Puede resultar ventajoso utilizar este tipo de series de Fourier-Legendre, ya que todas las funciones propias son polinomios y, por tanto, las integrales y, por tanto, los coeficientes son más fáciles de calcular. ${\displaystyle \cos x}$

Teoremas de coeficientes

Algunos teoremas sobre los coeficientes incluyen: ${\displaystyle c_{n}}$

La desigualdad de Bessel

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,dx.}$

teorema de parseval

Si Φ es un conjunto completo, entonces

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=\int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,dx.}$

Ver también

• espacio banach
• Funciones propias
• Transformada fraccionaria de Fourier
• Espacio funcional
• Espacio de Hilbert
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• función ortogonal
• Ortogonalidad
• Espacio vectorial topológico
• Espacio vectorial

Referencias

1. Howell, Kenneth B. (18 de mayo de 2001). Principios del análisis de Fourier. Boca Ratón: CRC Press. doi :10.1201/9781420036909. ISBN 978-0-429-12941-4.

• https://mathworld.wolfram.com/GeneralizedFourierSeries.html