Inductancia

Propiedad de los conductores eléctricos

La inductancia es la tendencia de un conductor eléctrico a oponerse a un cambio en la corriente eléctrica que fluye a través de él. La corriente eléctrica produce un campo magnético alrededor del conductor. La intensidad del campo magnético depende de la magnitud de la corriente eléctrica y sigue cualquier cambio en la magnitud de la corriente. Según la ley de inducción de Faraday , cualquier cambio en el campo magnético a través de un circuito induce una fuerza electromotriz (FEM) ( voltaje ) en los conductores, un proceso conocido como inducción electromagnética . Este voltaje inducido creado por la corriente cambiante tiene el efecto de oponerse al cambio de corriente. Esto se establece mediante la ley de Lenz , y el voltaje se llama FEM inversa .

La inductancia se define como la relación entre el voltaje inducido y la tasa de cambio de la corriente que lo causa. ^[1] Es una constante de proporcionalidad que depende de la geometría de los conductores del circuito (por ejemplo, área de sección transversal y longitud) y de la permeabilidad magnética del conductor y los materiales cercanos. ^[1] Un componente electrónico diseñado para agregar inductancia a un circuito se llama inductor . Por lo general, consiste en una bobina o hélice de cable.

El término inductancia fue acuñado por Oliver Heaviside en mayo de 1884, como una forma conveniente de referirse al "coeficiente de autoinducción". ^{[2] [3]} Es habitual utilizar el símbolo de inductancia, en honor al físico Heinrich Lenz . ^{[4] [5]} En el sistema SI , la unidad de inductancia es el henrio (H), que es la cantidad de inductancia que causa un voltaje de un voltio , cuando la corriente está cambiando a una velocidad de un amperio por segundo. ^[6] La unidad recibe su nombre de Joseph Henry , quien descubrió la inductancia independientemente de Faraday. ^[7] ${\displaystyle L}$

Historia

La historia de la inducción electromagnética, una faceta del electromagnetismo , comenzó con las observaciones de los antiguos: carga eléctrica o electricidad estática (frotar seda sobre ámbar ), corriente eléctrica ( rayo ) y atracción magnética ( piedra imán ). La comprensión de la unidad de estas fuerzas de la naturaleza y la teoría científica del electromagnetismo se iniciaron y lograron durante el siglo XIX.

La inducción electromagnética fue descrita por primera vez por Michael Faraday en 1831. ^{[8] [9]} En el experimento de Faraday, envolvió dos cables alrededor de los lados opuestos de un anillo de hierro. Esperaba que, cuando la corriente comenzara a fluir en un cable, una especie de onda viajaría a través del anillo y causaría algún efecto eléctrico en el lado opuesto. Usando un galvanómetro , observó un flujo de corriente transitoria en la segunda bobina de cable cada vez que se conectaba o desconectaba una batería de la primera bobina. ^[10] Esta corriente era inducida por el cambio en el flujo magnético que se producía cuando se conectaba y desconectaba la batería. ^[11] Faraday encontró varias otras manifestaciones de inducción electromagnética. Por ejemplo, vio corrientes transitorias cuando deslizó rápidamente una barra magnética dentro y fuera de una bobina de cables, y generó una corriente constante ( CC ) girando un disco de cobre cerca de la barra magnética con un cable eléctrico deslizante (" disco de Faraday "). ^[12]

Fuente de inductancia

Una corriente que fluye a través de un conductor genera un campo magnético alrededor del conductor, que se describe mediante la ley circuital de Ampere . El flujo magnético total a través de un circuito es igual al producto del componente perpendicular de la densidad de flujo magnético y el área de la superficie que abarca la trayectoria de la corriente. Si la corriente varía, el flujo magnético a través del circuito cambia. Según la ley de inducción de Faraday , cualquier cambio en el flujo a través de un circuito induce una fuerza electromotriz (FEM, ) en el circuito, proporcional a la tasa de cambio del flujo. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}(t)=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\,\Phi (t)}$$

El signo negativo en la ecuación indica que el voltaje inducido está en una dirección que se opone al cambio de corriente que lo creó; esto se llama ley de Lenz . Por lo tanto, el potencial se llama fuerza contraelectromotriz . Si la corriente aumenta, el voltaje es positivo en el extremo del conductor por donde entra la corriente y negativo en el extremo por donde sale, lo que tiende a reducir la corriente. Si la corriente disminuye, el voltaje es positivo en el extremo por donde sale la corriente del conductor, lo que tiende a mantener la corriente. La autoinducción, generalmente llamada simplemente inductancia, es la relación entre el voltaje inducido y la tasa de cambio de la corriente. ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle v(t)=L\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\qquad \qquad \qquad (1)\;}$$

Por lo tanto, la inductancia es una propiedad de un conductor o circuito, debido a su campo magnético, que tiende a oponerse a los cambios en la corriente a través del circuito. La unidad de inductancia en el sistema SI es el henrio (H), llamado así por Joseph Henry , que es la cantidad de inductancia que genera un voltaje de un voltio cuando la corriente está cambiando a una velocidad de un amperio por segundo.

Todos los conductores tienen cierta inductancia, que puede tener efectos deseables o perjudiciales en los dispositivos eléctricos prácticos. La inductancia de un circuito depende de la geometría de la trayectoria de la corriente y de la permeabilidad magnética de los materiales cercanos; los materiales ferromagnéticos con una mayor permeabilidad, como el hierro, cerca de un conductor tienden a aumentar el campo magnético y la inductancia. Cualquier alteración de un circuito que aumente el flujo (campo magnético total) a través del circuito producido por una corriente dada aumenta la inductancia, porque la inductancia también es igual a la relación entre el flujo magnético y la corriente ^{[13] [14] [15] [16]}

$${\displaystyle L={\Phi (i) \over i}}$$

Un inductor es un componente eléctrico que consiste en un conductor con una forma que aumenta el flujo magnético, para añadir inductancia a un circuito. Normalmente consiste en un cable enrollado en una bobina o hélice . Un cable enrollado tiene una inductancia mayor que un cable recto de la misma longitud, ya que las líneas de campo magnético pasan por el circuito varias veces, por lo que tiene múltiples enlaces de flujo . La inductancia es proporcional al cuadrado del número de vueltas de la bobina, suponiendo un enlace de flujo completo.

La inductancia de una bobina se puede aumentar colocando un núcleo magnético de material ferromagnético en el orificio del centro. El campo magnético de la bobina magnetiza el material del núcleo, alineando sus dominios magnéticos , y el campo magnético del núcleo se suma al de la bobina, aumentando el flujo a través de la bobina. Esto se llama inductor de núcleo ferromagnético . Un núcleo magnético puede aumentar la inductancia de una bobina miles de veces.

Si varios circuitos eléctricos están ubicados cerca uno del otro, el campo magnético de uno puede pasar a través del otro; en este caso, se dice que los circuitos están acoplados inductivamente . Debido a la ley de inducción de Faraday , un cambio en la corriente en un circuito puede causar un cambio en el flujo magnético en otro circuito y, por lo tanto, inducir un voltaje en otro circuito. El concepto de inductancia se puede generalizar en este caso definiendo la inductancia mutua de circuito y circuito como la relación entre el voltaje inducido en el circuito y la tasa de cambio de la corriente en el circuito . Este es el principio detrás de un transformador . ${\displaystyle M_{k,\ell }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle k}$La propiedad que describe el efecto de un conductor sobre sí mismo se llama con mayor precisión autoinducción , y las propiedades que describen los efectos de un conductor con corriente cambiante sobre conductores cercanos se llaman inductancia mutua . ^[17]

Autoinducción y energía magnética

Si la corriente que pasa por un conductor con inductancia aumenta, se induce un voltaje a través del conductor con una polaridad que se opone a la corriente, además de cualquier caída de voltaje causada por la resistencia del conductor. Las cargas que fluyen a través del circuito pierden energía potencial. La energía del circuito externo necesaria para superar esta "colina de potencial" se almacena en el campo magnético aumentado alrededor del conductor. Por lo tanto, un inductor almacena energía en su campo magnético. En cualquier momento dado, la potencia que fluye hacia el campo magnético, que es igual a la tasa de cambio de la energía almacenada , es el producto de la corriente y el voltaje a través del conductor ^{[18] [19] [20]} ${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle i(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$

$${\displaystyle p(t)={\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}=v(t)\,i(t)}$$

Desde (1) arriba

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}&=L(i)\,i\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\\[3pt]{\text{d}}U&=L(i)\,i\,{\text{d}}i\,\end{aligned}}}$$

Cuando no hay corriente, no hay campo magnético y la energía almacenada es cero. Despreciando las pérdidas resistivas, la energía (medida en julios , en el SI ) almacenada por una inductancia con una corriente a través de ella es igual a la cantidad de trabajo necesario para establecer la corriente a través de la inductancia a partir de cero y, por lo tanto, el campo magnético. Esto viene dado por: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle U=\int _{0}^{I}L(i)\,i\,{\text{d}}i\,}$$

Si la inductancia es constante en el rango de corriente, la energía almacenada es ^{[18] [19] [20]} ${\displaystyle L(i)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=L\int _{0}^{I}\,i\,{\text{d}}i\\[3pt]&={\tfrac {1}{2}}L\,I^{2}\end{aligned}}}$$

La inductancia es por tanto también proporcional a la energía almacenada en el campo magnético para una corriente dada. Esta energía se almacena mientras la corriente se mantenga constante. Si la corriente disminuye, el campo magnético disminuye, induciendo una tensión en el conductor en sentido contrario, negativa en el extremo por el que entra la corriente y positiva en el extremo por el que sale. Esto devuelve la energía magnética almacenada al circuito externo.

Si los materiales ferromagnéticos se encuentran cerca del conductor, como en un inductor con un núcleo magnético , la ecuación de inductancia constante anterior solo es válida para regiones lineales del flujo magnético, a corrientes por debajo del nivel en el que se satura el material ferromagnético , donde la inductancia es aproximadamente constante. Si el campo magnético en el inductor se acerca al nivel en el que se satura el núcleo, la inductancia comienza a cambiar con la corriente y se debe utilizar la ecuación integral.

Reactancia inductiva

Las formas de onda de voltaje ( , azul) ${\displaystyle v}$ y corriente ( , rojo) ${\displaystyle i}$ en un inductor ideal al que se le ha aplicado una corriente alterna. La corriente está retrasada respecto del voltaje en 90°

Cuando una corriente alterna (CA) sinusoidal pasa a través de una inductancia lineal, la fuerza contraelectromotriz inducida también es sinusoidal. Si la corriente a través de la inductancia es , desde (1) por encima del voltaje a través de ella es ${\displaystyle i(t)=I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v(t)&=L{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)\right]\\&=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\cos \left(\omega t\right)=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\sin \left(\omega t+{\pi \over 2}\right)\end{aligned}}}$$

donde es la amplitud (valor pico) de la corriente sinusoidal en amperios, es la frecuencia angular de la corriente alterna, siendo su frecuencia en hercios , y es la inductancia. ${\displaystyle I_{\text{peak}}}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$

Por lo tanto, la amplitud (valor pico) del voltaje a través de la inductancia es

$${\displaystyle V_{p}=\omega L\,I_{p}=2\pi f\,L\,I_{p}}$$

La reactancia inductiva es la oposición de un inductor a una corriente alterna. ^[21] Se define de manera análoga a la resistencia eléctrica en un resistor, como la relación entre la amplitud (valor pico) del voltaje alterno y la corriente en el componente.

$${\displaystyle X_{L}={\frac {V_{p}}{I_{p}}}=2\pi f\,L}$$

La reactancia tiene unidades de ohmios . Se puede ver que la reactancia inductiva de un inductor aumenta proporcionalmente con la frecuencia , por lo que un inductor conduce menos corriente para un voltaje de CA aplicado dado a medida que aumenta la frecuencia. Debido a que el voltaje inducido es mayor cuando aumenta la corriente, las formas de onda de voltaje y corriente están desfasadas ; los picos de voltaje ocurren antes en cada ciclo que los picos de corriente. La diferencia de fase entre la corriente y el voltaje inducido es radianes o 90 grados, lo que muestra que en un inductor ideal la corriente se retrasa 90° con respecto al voltaje . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Cálculo de la inductancia

En el caso más general, la inductancia se puede calcular a partir de las ecuaciones de Maxwell. Muchos casos importantes se pueden resolver mediante simplificaciones. Cuando se consideran corrientes de alta frecuencia, con efecto pelicular , las densidades de corriente superficial y el campo magnético se pueden obtener resolviendo la ecuación de Laplace . Cuando los conductores son cables delgados, la autoinductancia sigue dependiendo del radio del cable y de la distribución de la corriente en el cable. Esta distribución de corriente es aproximadamente constante (en la superficie o en el volumen del cable) para un radio de cable mucho menor que otras escalas de longitud.

Inductancia de un solo cable recto

En la práctica, los cables más largos tienen más inductancia y los más gruesos menos, de manera análoga a su resistencia eléctrica (aunque las relaciones no son lineales y son de un tipo diferente a las relaciones que la longitud y el diámetro tienen con la resistencia).

Separar el cable de las demás partes del circuito introduce un error inevitable en los resultados de cualquier fórmula. Estas inductancias suelen denominarse "inductancias parciales", en parte para fomentar la consideración de las demás contribuciones a la inductancia de todo el circuito que se omiten.

Fórmulas prácticas

Para la derivación de las fórmulas siguientes, consulte Rosa (1908). ^[22] La inductancia total de baja frecuencia (interior más exterior) de un cable recto es:

$${\displaystyle L_{\text{DC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-0.75\right]}$$

dónde

• ${\displaystyle L_{\text{DC}}}$es la inductancia de "baja frecuencia" o CC en nanohenrios (nH o 10 ⁻⁹ H),
• ${\displaystyle \ell }$es la longitud del cable en metros,
• ${\displaystyle r}$es el radio del cable en metros (por lo tanto, un número decimal muy pequeño),
• la constante es la permeabilidad del espacio libre , comúnmente llamada , dividida por ; en ausencia de aislamiento magnéticamente reactivo el valor 200 es exacto cuando se utiliza la definición clásica de μ ₀ = ${\displaystyle 200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}}$ ${\displaystyle \mu _{\text{o}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$4π × 10 ⁻⁷  H/m , y se corrige a 7 decimales cuando se utiliza el valor SI redefinido en 2019 de μ ₀ =1,256 637 062 12 (19) × 10 ⁻⁶  H /m .

La constante 0,75 es solo un valor de parámetro entre varios; diferentes rangos de frecuencia, formas diferentes o longitudes de cable extremadamente largas requieren una constante ligeramente diferente (ver a continuación). Este resultado se basa en el supuesto de que el radio es mucho menor que la longitud , que es el caso común para cables y varillas. Los discos o cilindros gruesos tienen fórmulas ligeramente diferentes. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$

Para frecuencias suficientemente altas, los efectos peliculares hacen que las corrientes internas desaparezcan, dejando sólo las corrientes en la superficie del conductor; la inductancia para corriente alterna, entonces, se da mediante una fórmula muy similar: ${\displaystyle L_{\text{AC}}}$

$${\displaystyle L_{\text{AC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-1\right]}$$donde las variables y son las mismas que las anteriores; note el término constante modificado, ahora 1, desde 0,75 arriba. ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle r}$

En un ejemplo de la experiencia cotidiana, sólo uno de los conductores de un cable de lámparaDe 10 m de largo, hecho de cable de calibre 18  AWG , solo tendría una inductancia de aproximadamente19 μH si se estira en línea recta.

Inductancia mutua de dos cables rectos paralelos

Hay dos casos a considerar:

1. La corriente viaja en la misma dirección en cada cable y
2. La corriente viaja en direcciones opuestas en los cables.

Las corrientes en los cables no necesitan ser iguales, aunque a menudo lo son, como en el caso de un circuito completo, donde un cable es la fuente y el otro el retorno.

Inductancia mutua de dos bucles de alambre

Este es el caso generalizado de la bobina cilíndrica paradigmática de dos bucles que transporta una corriente de baja frecuencia uniforme; los bucles son circuitos cerrados independientes que pueden tener diferentes longitudes, cualquier orientación en el espacio y transportar diferentes corrientes. No obstante, los términos de error, que no se incluyen en la integral, solo son pequeños si las geometrías de los bucles son en su mayoría suaves y convexas: no deben tener demasiados dobleces, esquinas agudas, bobinas, cruces, segmentos paralelos, cavidades cóncavas u otras deformaciones topológicamente "cercanas". Un predicado necesario para la reducción de la fórmula de integración de variedades tridimensionales a una integral de doble curva es que los caminos de corriente sean circuitos filamentosos, es decir, cables delgados donde el radio del cable es insignificante en comparación con su longitud.

La inductancia mutua de un circuito filamentoso sobre un circuito filamentoso viene dada por la fórmula de Neumann ^{de doble integral [23]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{\ \left|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}\right|\ }}\ ,}$$

dónde

${\displaystyle C_{m}}$y son las curvas que siguen los cables. ${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle \mu _{0}}$es la permeabilidad del espacio libre ( 4 π ×10 ⁻⁷ H/m )

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$es un pequeño incremento del cable en el circuito C _m

${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$es la posición de en el espacio ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$es un pequeño incremento del cable en el circuito C _n

${\displaystyle \mathbf {x} _{n}}$es la posición de en el espacio. ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$

Derivación

$${\displaystyle M_{ij}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\frac {\Phi _{ij}}{I_{j}}}}$$

dónde

• ${\displaystyle I_{j}}$es la corriente a través del cable th, esta corriente crea el flujo magnético a través de la superficie th ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}\ \,}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \Phi _{ij}}$es el flujo magnético a través de la superficie i debido al circuito eléctrico delineado por : ^[24] ${\displaystyle C_{j}}$

$${\displaystyle \Phi _{ij}=\int _{S_{i}}\mathbf {B} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{S_{i}}(\nabla \times \mathbf {A_{j}} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{C_{i}}\mathbf {A} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}=\oint _{C_{i}}\left({\frac {\mu _{0}I_{j}}{4\pi }}\oint _{C_{j}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} _{j}}{\left|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}\right|}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}}$$

dónde

• ${\displaystyle C_{i}}$es la superficie que encierra la curva ; y es cualquier área orientable arbitraria con borde ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$
• ${\displaystyle \mathbf {B} _{j}}$es el vector del campo magnético debido a la -ésima corriente (del circuito ). ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle C_{j}}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{j}}$es el potencial vectorial debido a la corriente -ésima . ${\displaystyle j}$

El teorema de Stokes se ha utilizado para el tercer paso de igualdad. Para el último paso de igualdad, utilizamos la expresión de potencial retardado para e ignoramos el efecto del tiempo retardado (suponiendo que la geometría de los circuitos es lo suficientemente pequeña en comparación con la longitud de onda de la corriente que transportan). En realidad, es un paso de aproximación y es válido solo para circuitos locales hechos de cables delgados. ${\displaystyle A_{j}}$

Autoinducción de un bucle de alambre

Formalmente, la autoinducción de un bucle de cable se obtendría mediante la ecuación anterior con Sin embargo, aquí se vuelve infinita, lo que conduce a una integral divergente logarítmica. ^[a] Esto requiere tener en cuenta el radio finito del cable y la distribución de la corriente en el cable. Queda la contribución de la integral sobre todos los puntos y un término de corrección, ^[25] ${\displaystyle \ m=n\ .}$ ${\displaystyle \ 1/\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }$ ${\displaystyle \ a\ }$

$${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[\ \ell \ Y+\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{\ \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }}\ \right]+{\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\quad {\text{ for }}\;\left|\mathbf {s} -\mathbf {s} '\right|>{\tfrac {1}{2}}a\ }$$

dónde

${\displaystyle \ \mathbf {s} \ }$y son distancias a lo largo de las curvas y respectivamente ${\displaystyle \ \mathbf {s} '\ }$ ${\displaystyle \ C\ }$ ${\displaystyle \ C'\ }$

${\displaystyle \ a\ }$es el radio del alambre

${\displaystyle \ \ell \ }$es la longitud del cable

${\displaystyle \ Y\ }$es una constante que depende de la distribución de la corriente en el cable:

${\displaystyle \ Y=0\ }$cuando la corriente fluye sobre la superficie del cable ( efecto pelicular total ),

${\textstyle \ Y={\tfrac {1}{2}}\ }$cuando la corriente se distribuye uniformemente sobre la sección transversal del cable.

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\ }$es un término de error cuyo tamaño depende de la curva del bucle:

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}(\mu _{0}a)\ }$cuando el bucle tiene esquinas afiladas, y

${\textstyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}{\mathord {\left({\mu _{0}a^{2}}/{\ell }\right)}}\ }$cuando es una curva suave.

Ambos son pequeños cuando el cable es largo en comparación con su radio.

Inductancia de un solenoide

Un solenoide es una bobina larga y delgada, es decir, una bobina cuya longitud es mucho mayor que su diámetro. En estas condiciones, y sin utilizar ningún material magnético, la densidad de flujo magnético dentro de la bobina es prácticamente constante y viene dada por ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\,N\,i}{\ell }}}$$

donde es la constante magnética , el número de vueltas, la corriente y la longitud de la bobina. Ignorando los efectos finales, el flujo magnético total a través de la bobina se obtiene multiplicando la densidad de flujo por el área de la sección transversal : ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \Phi ={\frac {\mu _{0}\,N\,i\,A}{\ell }},}$$

Cuando esto se combina con la definición de inductancia , se deduce que la inductancia de un solenoide viene dada por: ${\displaystyle L={\frac {N\,\Phi }{i}}}$ $${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}\,N^{2}\,A}{\ell }}.}$$

Por lo tanto, para las bobinas con núcleo de aire, la inductancia es una función de la geometría de la bobina y del número de vueltas, y es independiente de la corriente.

Inductancia de un cable coaxial

Sea el conductor interno un radio y una permeabilidad , sea el dieléctrico entre el conductor interno y el externo un permeable y sea el conductor externo un radio interno , un radio externo y una permeabilidad . Sin embargo, para una aplicación de línea coaxial típica, nos interesa pasar señales (no CC) a frecuencias para las que no se puede despreciar el efecto pelicular resistivo . En la mayoría de los casos, los términos del conductor interno y externo son despreciables, en cuyo caso se puede aproximar ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle \mu _{d}}$ ${\displaystyle r_{o1}}$ ${\displaystyle r_{o2}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

$${\displaystyle L'={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}\ell }}\approx {\frac {\mu _{d}}{2\pi }}\ln {\frac {r_{o1}}{r_{i}}}}$$

Inductancia de bobinas multicapa

La mayoría de los inductores con núcleo de aire más prácticos son bobinas cilíndricas multicapa con secciones transversales cuadradas para minimizar la distancia promedio entre espiras (las secciones transversales circulares serían mejores pero más difíciles de formar).

Núcleos magnéticos

Muchos inductores incluyen un núcleo magnético en el centro del devanado o que lo rodea parcialmente. En un rango suficientemente amplio, estos presentan una permeabilidad no lineal con efectos como la saturación magnética . La saturación hace que la inductancia resultante sea una función de la corriente aplicada.

La inductancia secante o de señal grande se utiliza en los cálculos de flujo. Se define como:

$${\displaystyle L_{s}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {N\ \Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}}$$

Por otra parte, la inductancia diferencial o de pequeña señal se utiliza para calcular la tensión y se define como:

$${\displaystyle L_{d}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {{\text{d}}(N\Phi )}{{\text{d}}i}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}}$$

El voltaje del circuito de un inductor no lineal se obtiene a través de la inductancia diferencial como lo muestra la Ley de Faraday y la regla de la cadena del cálculo.

$${\displaystyle v(t)={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L_{d}(i){\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}}$$

Se pueden derivar definiciones similares para la inductancia mutua no lineal.

Inductancia mutua

La inductancia mutua se define como la relación entre la fuerza electromotriz inducida en un bucle o bobina y la tasa de cambio de la corriente en otro bucle o bobina. La inductancia mutua se representa con el símbolo M.

Derivación de la inductancia mutua

Las ecuaciones de inductancia anteriores son una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell . Para el caso importante de los circuitos eléctricos que consisten en cables delgados, la derivación es sencilla.

En un sistema de bucles de alambre, cada uno con una o varias vueltas de alambre, el enlace de flujo del bucle , , está dado por ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda _{m}}$ $${\displaystyle \displaystyle \lambda _{m}=N_{m}\Phi _{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}\ i_{n}\,.}$$

Aquí se denota el número de vueltas en el bucle ; es el flujo magnético a través del bucle ; y son algunas constantes descritas a continuación. Esta ecuación se desprende de la ley de Ampere : los campos y flujos magnéticos son funciones lineales de las corrientes . Por la ley de inducción de Faraday , tenemos ${\displaystyle N_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Phi _{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$

$${\displaystyle \displaystyle v_{m}={\frac {{\text{d}}\lambda _{m}}{{\text{d}}t}}=N_{m}{\frac {{\text{d}}\Phi _{m}}{{\text{d}}t}}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {{\text{d}}i_{n}}{{\text{d}}t}},}$$

donde denota el voltaje inducido en el circuito . Esto concuerda con la definición de inductancia anterior si los coeficientes se identifican con los coeficientes de inductancia. Debido a que las corrientes totales contribuyen a ello, también se deduce que es proporcional al producto de espiras . ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$ ${\displaystyle N_{n}\ i_{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{m}}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$ ${\displaystyle N_{m}\ N_{n}}$

Inductancia mutua y energía del campo magnético

Al multiplicar la ecuación para v _m anterior por i _m dt y sumar sobre m se obtiene la energía transferida al sistema en el intervalo de tiempo dt , $${\displaystyle \sum \limits _{m}^{K}i_{m}v_{m}{\text{d}}t=\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}{\text{d}}i_{n}\mathrel {\overset {!}{=}} \sum \limits _{n=1}^{K}{\frac {\partial W\left(i\right)}{\partial i_{n}}}{\text{d}}i_{n}.}$$

Esto debe coincidir con el cambio de la energía del campo magnético, W , causado por las corrientes. ^[26] La condición de integrabilidad

$${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{m}\partial i_{n}}}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{n}\partial i_{m}}}}$$

requiere L _m,n  = L _n,m . La matriz de inductancia, L _m,n , es por lo tanto simétrica. La integral de la transferencia de energía es la energía del campo magnético en función de las corrientes, $${\displaystyle \displaystyle W\left(i\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}i_{n}.}$$

Esta ecuación también es una consecuencia directa de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell. Es útil asociar corrientes eléctricas cambiantes con una acumulación o disminución de la energía del campo magnético. La transferencia de energía correspondiente requiere o genera un voltaje. Una analogía mecánica en el caso K  = 1 con energía del campo magnético (1/2) Li ² es un cuerpo con masa M , velocidad u y energía cinética (1/2) Mu ² . La tasa de cambio de velocidad (corriente) multiplicada por la masa (inductancia) requiere o genera una fuerza (un voltaje eléctrico).

Diagrama de circuito de dos inductores acoplados entre sí. Las dos líneas verticales entre los devanados indican que el transformador tiene un núcleo ferromagnético . "n:m" muestra la relación entre el número de devanados del inductor izquierdo y el número de devanados del inductor derecho. Esta imagen también muestra la convención de puntos .

La inductancia mutua se produce cuando el cambio de corriente en un inductor induce un voltaje en otro inductor cercano. Es importante porque es el mecanismo por el que funcionan los transformadores , pero también puede provocar un acoplamiento no deseado entre los conductores de un circuito.

La inductancia mutua, , es también una medida del acoplamiento entre dos inductores. La inductancia mutua de circuito a circuito se obtiene mediante la fórmula de Neumann de doble integral , véase técnicas de cálculo ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

La inductancia mutua también tiene la relación: donde $${\displaystyle M_{21}=N_{1}\ N_{2}\ P_{21}\!}$$

• ${\displaystyle M_{21}}$es la inductancia mutua y el subíndice especifica la relación del voltaje inducido en la bobina 2 debido a la corriente en la bobina 1.
• ${\displaystyle N_{1}}$es el número de vueltas en la bobina 1,
• ${\displaystyle N_{2}}$es el número de vueltas en la bobina 2,
• ${\displaystyle P_{21}}$es la permeabilidad del espacio ocupado por el flujo.

Una vez que se determina la inductancia mutua , se puede utilizar para predecir el comportamiento de un circuito: donde ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle v_{1}=L_{1}\ {\frac {{\text{d}}i_{1}}{{\text{d}}t}}-M\ {\frac {{\text{d}}i_{2}}{{\text{d}}t}}}$$

• ${\displaystyle v_{1}}$es el voltaje a través del inductor de interés;
• ${\displaystyle L_{1}}$es la inductancia del inductor de interés;
• ${\displaystyle {\text{d}}i_{1}\,/\,{\text{d}}t}$es la derivada, con respecto al tiempo, de la corriente a través del inductor de interés, etiquetado como 1;
• ${\displaystyle {\text{d}}i_{2}\,/\,{\text{d}}t}$es la derivada, con respecto al tiempo, de la corriente a través del inductor, denominado 2, que está acoplado al primer inductor; y
• ${\displaystyle M}$es la inductancia mutua.

El signo menos surge debido al sentido en que se ha definido la corriente en el diagrama. Con ambas corrientes definidas entrando en los puntos, el signo será positivo (la ecuación se leería con un signo más en su lugar). ^[27] ${\displaystyle i_{2}}$ ${\displaystyle M}$

Coeficiente de acoplamiento

El coeficiente de acoplamiento es la relación entre la relación de voltaje real en circuito abierto y la relación que se obtendría si todo el flujo se acoplara de un circuito magnético al otro. El coeficiente de acoplamiento está relacionado con la inductancia mutua y las autoinductancias de la siguiente manera. A partir de las dos ecuaciones simultáneas expresadas en la matriz de dos puertos, se obtiene que la relación de voltaje en circuito abierto es:

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{open circuit}}={M \over L_{1}}}$$dónde

• ${\displaystyle M^{2}=M_{1}M_{2}}$

mientras que la relación si todo el flujo está acoplado es la relación de las vueltas, de ahí la relación de la raíz cuadrada de las inductancias

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{max coupling}}={\sqrt {L_{2} \over L_{1}\ }}}$$

de este modo,

$${\displaystyle M=k{\sqrt {L_{1}\ L_{2}\ }}}$$dónde

• ${\displaystyle k}$es el coeficiente de acoplamiento ,
• ${\displaystyle L_{1}}$es la inductancia de la primera bobina, y
• ${\displaystyle L_{2}}$es la inductancia de la segunda bobina.

El coeficiente de acoplamiento es una forma conveniente de especificar la relación entre una determinada orientación de los inductores con una inductancia arbitraria. La mayoría de los autores definen el rango como , pero algunos ^[28] lo definen como . Permitir valores negativos de captura inversiones de fase de las conexiones de las bobinas y la dirección de los devanados. ^[29] ${\displaystyle 0\leq k<1}$ ${\displaystyle -1<k<1\,}$ ${\displaystyle k}$

Representación matricial

Los inductores acoplados mutuamente se pueden describir mediante cualquiera de las representaciones de matriz de parámetros de red de dos puertos . Las más directas son los parámetros z , que se dan en ^[30]

$${\displaystyle [\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}.}$$

Los parámetros y se dan por

$${\displaystyle [\mathbf {y} ]={\frac {1}{s}}{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}^{-1}.}$$ Donde es la variable de frecuencia compleja , y son las inductancias de la bobina primaria y secundaria, respectivamente, y es la inductancia mutua entre las bobinas. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle M}$

Inductores acoplados múltiples

La inductancia mutua puede aplicarse a múltiples inductores simultáneamente. Las representaciones matriciales para múltiples inductores acoplados mutuamente se dan en ^[31]. $${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}&M_{12}&M_{13}&\dots &M_{1N}\\M_{12}&L_{2}&M_{23}&\dots &M_{2N}\\M_{13}&M_{23}&L_{3}&\dots &M_{3N}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\M_{1N}&M_{2N}&M_{3N}&\dots &L_{N}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Circuitos equivalentes

Circuito en T

Circuito equivalente T de inductores acoplados mutuamente

Los inductores acoplados entre sí pueden representarse de manera equivalente mediante un circuito en T de inductores como el que se muestra. Si el acoplamiento es fuerte y los inductores tienen valores desiguales, entonces el inductor en serie del lado reductor puede adoptar un valor negativo. ^[32]

Esto se puede analizar como una red de dos puertos. Con la salida terminada con una impedancia arbitraria , la ganancia de voltaje se expresa como: ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A_{v}}$

$${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\frac {sMZ}{\,s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z\,}}={\frac {k}{\,s\left(1-k^{2}\right){\frac {\sqrt {L_{1}L_{2}}}{Z}}+{\sqrt {\frac {L_{1}}{L_{2}}}}\,}}}$$

donde es la constante de acoplamiento y es la variable de frecuencia compleja , como se indica anteriormente. Para inductores acoplados estrechamente, donde esto se reduce a ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\sqrt {L_{2} \over L_{1}}}}$$

que es independiente de la impedancia de carga. Si los inductores están enrollados en el mismo núcleo y con la misma geometría, entonces esta expresión es igual a la relación de vueltas de los dos inductores porque la inductancia es proporcional al cuadrado de la relación de vueltas.

La impedancia de entrada de la red está dada por,

$${\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)\left(1+{\frac {1-k^{2}}{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}\right)}$$

Porque esto se reduce a ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)}$$

Por lo tanto, la ganancia de corriente no es independiente de la carga a menos que se cumpla la condición adicional ${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle |sL_{2}|\gg |Z|}$$

se cumple, en cuyo caso,

$${\displaystyle Z_{\text{in}}\approx {L_{1} \over L_{2}}Z}$$

y

$${\displaystyle A_{\text{i}}\approx {\sqrt {L_{1} \over L_{2}}}={1 \over A_{\text{v}}}}$$

circuito π

Circuito equivalente π de inductores acoplados

Como alternativa, se pueden modelar dos inductores acoplados utilizando un circuito equivalente π con transformadores ideales opcionales en cada puerto. Si bien el circuito es más complicado que un circuito T, se puede generalizar [ ^33] a circuitos que constan de más de dos inductores acoplados. Los elementos de circuito equivalente tienen un significado físico, ya que modelan respectivamente las reluctancias magnéticas de los caminos de acoplamiento y las reluctancias magnéticas de los caminos de fuga . Por ejemplo, las corrientes eléctricas que fluyen a través de estos elementos corresponden a los flujos magnéticos de acoplamiento y fuga . Los transformadores ideales normalizan todas las autoinductancias a 1 Henry para simplificar las fórmulas matemáticas. ${\displaystyle L_{\text{s}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p}}}$

Los valores de los elementos del circuito equivalente se pueden calcular a partir de los coeficientes de acoplamiento con $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{S_{ij}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{-\mathbf {C} _{ij}}}\\[3pt]L_{P_{i}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{\sum _{j=1}^{N}\mathbf {C} _{ij}}}\end{aligned}}}$$

donde la matriz de coeficientes de acoplamiento y sus cofactores se definen como

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}1&k_{12}&\cdots &k_{1N}\\k_{12}&1&\cdots &k_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{1N}&k_{2N}&\cdots &1\end{bmatrix}}\quad }$y ${\displaystyle \quad \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\,\mathbf {M} _{ij}.}$

Para dos inductores acoplados, estas fórmulas se simplifican a

${\displaystyle L_{S_{12}}={\frac {-k_{12}^{2}+1}{k_{12}}}\quad }$y ${\displaystyle \quad L_{P_{1}}=L_{P_{2}}\!=\!k_{12}+1,}$

y para tres inductores acoplados (para abreviar se muestra solo para y ) ${\displaystyle L_{\text{s12}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p1}}}$

${\displaystyle L_{S_{12}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{13}\,k_{23}-k_{12}}}\quad }$y ${\displaystyle \quad L_{P_{1}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{12}\,k_{23}+k_{13}\,k_{23}-k_{23}^{2}-k_{12}-k_{13}+1}}.}$

Transformador resonante

Cuando se conecta un condensador a través de un devanado de un transformador, lo que hace que el devanado sea un circuito sintonizado (circuito resonante), se denomina transformador de sintonización simple. Cuando se conecta un condensador a través de cada devanado, se denomina transformador de sintonización doble . Estos transformadores resonantes pueden almacenar energía eléctrica oscilante de forma similar a un circuito resonante y, por lo tanto, funcionan como un filtro de paso de banda , lo que permite que las frecuencias cercanas a su frecuencia de resonancia pasen del devanado primario al secundario, pero bloqueando otras frecuencias. La cantidad de inductancia mutua entre los dos devanados, junto con el factor Q del circuito, determinan la forma de la curva de respuesta de frecuencia. La ventaja del transformador de sintonización doble es que puede tener un ancho de banda más amplio que un circuito sintonizado simple. El acoplamiento de circuitos de sintonización doble se describe como acoplado débilmente, crítico o sobreacoplado según el valor del coeficiente de acoplamiento . Cuando dos circuitos sintonizados están acoplados débilmente a través de la inductancia mutua, el ancho de banda es estrecho. A medida que aumenta la cantidad de inductancia mutua, el ancho de banda continúa creciendo. Cuando la inductancia mutua aumenta más allá del acoplamiento crítico, el pico en la curva de respuesta de frecuencia se divide en dos picos y, a medida que aumenta el acoplamiento, los dos picos se alejan aún más. Esto se conoce como sobreacoplamiento. ${\displaystyle k}$

Las bobinas autorresonantes fuertemente acopladas se pueden utilizar para la transferencia inalámbrica de energía entre dispositivos en distancias de rango medio (hasta dos metros). ^[34] Se requiere un fuerte acoplamiento para un alto porcentaje de potencia transferida, lo que da como resultado una división de picos en la respuesta de frecuencia. ^{[35] [36]}

Transformadores ideales

Cuando , se dice que el inductor está acoplado estrechamente. Si además, las autoinductancias tienden al infinito, el inductor se convierte en un transformador ideal . En este caso, los voltajes, las corrientes y el número de vueltas se pueden relacionar de la siguiente manera: ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle V_{\text{s}}={\frac {N_{\text{s}}}{N_{\text{p}}}}V_{\text{p}}}$$dónde

• ${\displaystyle V_{\text{s}}}$es el voltaje a través del inductor secundario,
• ${\displaystyle V_{\text{p}}}$es el voltaje a través del inductor primario (el que está conectado a una fuente de energía),
• ${\displaystyle N_{\text{s}}}$es el número de vueltas en el inductor secundario, y
• ${\displaystyle N_{\text{p}}}$es el número de vueltas en el inductor primario.

Por el contrario la corriente:

$${\displaystyle I_{\text{s}}={\frac {N_{\text{p}}}{N_{\text{s}}}}I_{\text{p}}}$$dónde

• ${\displaystyle I_{\text{s}}}$es la corriente a través del inductor secundario,
• ${\displaystyle I_{\text{p}}}$es la corriente a través del inductor primario (el que está conectado a una fuente de energía),
• ${\displaystyle N_{\text{s}}}$es el número de vueltas en el inductor secundario, y
• ${\displaystyle N_{\text{p}}}$es el número de vueltas en el inductor primario.

La potencia que pasa por un inductor es la misma que la que pasa por el otro. Estas ecuaciones no tienen en cuenta ninguna fuerza ejercida por fuentes de corriente o de tensión.

Autoinducción de formas de alambre delgadas

La siguiente tabla muestra fórmulas para la autoinducción de varias formas simples hechas de conductores cilíndricos delgados (alambres). En general, estas fórmulas solo son precisas si el radio del alambre es mucho menor que las dimensiones de la forma y si no hay materiales ferromagnéticos cerca (sin núcleo magnético ). ${\displaystyle a}$

${\displaystyle Y}$es un valor aproximadamente constante entre 0 y 1 que depende de la distribución de la corriente en el cable: cuando la corriente fluye sólo sobre la superficie del cable ( efecto pelicular completo ), cuando la corriente se distribuye uniformemente sobre la sección transversal del cable ( corriente continua ). Para cables redondos, Rosa (1908) da una fórmula equivalente a: ^[22] ${\displaystyle Y=0}$ ${\displaystyle Y=1}$

$${\displaystyle Y\approx {\frac {1}{\,1+a\ {\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\mu \sigma \omega \,}}\,}}}$$

dónde

• ${\displaystyle \omega =2\pi f}$es la frecuencia angular, en radianes por segundo;
• ${\displaystyle \mu =\mu _{0}\,\mu _{\text{r}}}$es la permeabilidad magnética neta del alambre;
• ${\displaystyle \sigma }$es la conductividad específica del cable; y
• ${\displaystyle a}$es el radio del alambre.

${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$representa los términos pequeños que se han eliminado de la fórmula para simplificarla. Lea el término como "más pequeñas correcciones que varían en el orden de " (ver la notación O mayúscula ). ${\displaystyle {}+{\mathcal {O}}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Véase también

• Inducción electromagnética
• Girador
• Analogía hidráulica
• Inductancia de fuga
• Circuito LC , circuito RLC , circuito RL
• Inductancia cinética

Notas al pie

1. La integral se llama "logarítmicamente divergente" porque para , por lo tanto se acerca al infinito como un logaritmo cuyo argumento se acerca al infinito. ${\displaystyle \ \int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln(x)\ }$ ${\displaystyle \ x>0\ }$

Referencias

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Enlaces externos

• Laboratorio de electrónica vehicular de Clemson: Calculadora de inductancia