constante de gelfond

mi elevado a π

En matemáticas , la constante de Gelfond , llamada así en honor a Aleksandr Gelfond , es e ^π , es decir, e elevada a la potencia π . Como tanto e como π , esta constante es un número trascendental . Esto fue establecido por primera vez por Gelfond y ahora puede considerarse como una aplicación del teorema de Gelfond-Schneider , observando que

$${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},}$$

donde i es la unidad imaginaria . Como − i es algebraico pero no racional, e ^π es trascendental. La constante fue mencionada en el séptimo problema de Hilbert . ^[1] Una constante relacionada es 2 ^{√ 2} , conocida como constante de Gelfond-Schneider . El valor relacionado π  +  e ^π también es irracional . ^[2]

Valor numérico

Comienza la expansión decimal de la constante de Gelfond

${\displaystyle e^{\pi }=}$ 23.140 692 632 779 269 005 729 086 367 948 547 380 266 106 242 600 211 993 445 046 409 524 342 350 690 452 783 516 997 067 549 2196 ... OEIS :   A039661

Construcción

Si se define k ₀ = ⁠1/√ 2⁠ y

$${\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}$$

para n > 0 , entonces la secuencia ^[3]

$${\displaystyle (4/k_{n+1})^{2^{-n}}}$$

converge rápidamente a e ^π .

Expansión de fracción continua

$${\displaystyle e^{\pi }=23+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{591+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Esto se basa en los dígitos de la fracción continua simple :

$${\displaystyle e^{\pi }=[23;7,9,3,1,1,591,2,9,1,2,34,1,16,1,30,1,1,4,1,2,108,2,2,1,3,1,7,1,2,2,2,1,2,3,2,166,1,2,1,4,8,10,1,1,7,1,2,3,566,1,2,3,3,1,20,1,2,19,1,3,2,1,2,13,2,2,11,...]}$$

Según lo dado por la secuencia entera A058287.

Propiedad geométrica

El volumen de la bola n -dimensional (o n -bola ), viene dado por

$${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}$$

donde R es su radio y Γ es la función gamma . Cualquier bola de dimensiones pares tiene volumen.

$${\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}R^{2n},}$$

y, sumando todos los volúmenes de la unidad de bola ( R = 1 ) de dimensión par se obtiene ^[4]

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}(R=1)=e^{\pi }.}$$

Constantes similares o relacionadas

La constante de Ramanujan

$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=({\text{Gelfond's constant}})^{\sqrt {163}}}$$

Esto se conoce como constante de Ramanujan . Es una aplicación de los números de Heegner , donde 163 es el número de Heegner en cuestión.

Similar a e ^π - π , e ^{π √ 163} está muy cerca de un número entero:

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=}$ 262 537 412 640 768 743 .999 999 999 999 250 072 597 198 185 688 879 353 856 337 336 990 862 707 537 410 378 210 647 910 18 607 3129 ... ${\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744}$

Este número fue descubierto en 1859 por el matemático Charles Hermite . ^[5] En un artículo del Día de los Inocentes de 1975 en la revista Scientific American , ^[6] el columnista de "Mathematical Games", Martin Gardner, hizo la afirmación falsa de que el número era en realidad un número entero, y que el genio matemático indio Srinivasa Ramanujan lo había predicho, de ahí que su nombre.

La cercanía coincidente, dentro de 0.000 000 000 000 75 del número 640320 ³ + 744 se explica por la multiplicación compleja y la q -expansión del invariante j , específicamente:

$${\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}$$

y,

$${\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$$

donde O ( e ^{- π √ 163} ) es el término de error,

$${\displaystyle {\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}}$$

lo que explica por qué e ^{π √ 163} es 0.000 000 000 000 75 debajo de 640320 ³ + 744 .

(Para más detalles sobre esta prueba, consulte el artículo sobre los números de Heegner ).

El númeromi π − π

La expansión decimal de e ^π − π viene dada por A018938:

${\displaystyle e^{\pi }-\pi =}$ 19.999 099 979 189 475 767 266 442 984 669 044 496 068 936 843 225 106 172 470 101 817 216 525 944 404 243 784 888 937 725 432 1516 ...​

Esto es aproximadamente igual a:

19.999 10

A pesar de ser casi el número entero 20, no se ha dado ninguna explicación a este hecho y se cree que es una coincidencia matemática .

Dicho esto, visto desde el marco de la teoría algorítmica de la información , no es difícil formar un gran conjunto de expresiones aritméticas cortas utilizando constantes bien conocidas y operadores disponibles, donde algunos valores de expresión resultan estar muy cerca de un número entero. Con suficiente fluidez en lo que se considera el conjunto de expresiones permitido, este tipo de cosas puede empezar a parecerse al dragado de datos .

El númeroπ mi

La expansión decimal de π ^e viene dada por A059850:

${\displaystyle \pi ^{e}=}$ 22.459 157 718 361 045 473 427 152 204 543 735 027 589 315 133 996 692 249 203 002 554 066 926 040 399 117 912 318 519 727 143 0315 ...​

No se sabe si este número es trascendental o no. Tenga en cuenta que, según el teorema de Gelfond-Schneider , solo podemos inferir definitivamente que a ^b es trascendental si a es algebraico y b no es racional ( a y b se consideran números complejos , también a ≠ 0 , a ≠ 1 ).

En el caso de e ^π , solo podemos demostrar que este número es trascendental debido a las propiedades de las formas exponenciales complejas, donde π se considera el módulo del número complejo e ^π , y se da la equivalencia anterior para transformarlo en (-1) ^{- i} , permitiendo la aplicación del teorema de Gelfond-Schneider.

π ^e no tiene tal equivalencia y, por lo tanto, como tanto π como e son trascendentales, no podemos sacar ninguna conclusión sobre la trascendencia de π ^e .

El númeromi π − π mi

Al igual que con π ^e , no se sabe si e ^π − π ^e es trascendental. Además, no existe ninguna prueba que demuestre si es irracional o no.

La expansión decimal para e ^π − π ^e viene dada por A063504:

${\displaystyle e^{\pi }-\pi ^{e}=}$ 0,681 534 914 418 223 532 301 934 163 404 812 352 676 791 108 603 519 744 242 043 855 457 416 310 291 334 871 198 452 244 340 406 1881 ...

El númeroyo yo

Usando el valor principal del logaritmo complejo , $${\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}}$$

La expansión decimal de viene dada por A049006:

${\displaystyle i^{i}=}$ 0,207 879 576 350 761 908 546 955 619 834 978 770 033 877 841 631 769 608 075 135 883 055 419 877 285 482 139 788 600 277 865 426 0353 ...

Debido a la equivalencia, podemos usar el teorema de Gelfond-Schneider para demostrar que la raíz cuadrada recíproca de la constante de Gelfond también es trascendental:

i es algebraico (una solución del polinomio x ² + 1 = 0 ) y no racional, por lo tanto i ⁱ es trascendental.

Ver también

• numero trascendental
• Teoría de números trascendentales , el estudio de cuestiones relacionadas con los números trascendentales
• La identidad de Euler
• Constante de Gelfond-Schneider

Referencias

1. Tijdeman, Robert (1976). "Sobre el método Gel'fond-Baker y sus aplicaciones". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de problemas de Hilbert . Actas de simposios de matemática pura . vol. XXVIII.1. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl  0341.10026.
2. Nesterenko, Y (1996). "Funciones modulares y problemas de trascendencia". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias, Serie I. 322 (10): 909–914. Zbl  0859.11047.
3. Borwein, J .; Bailey, D. (2004). Matemáticas por experimento: razonamiento plausible en el siglo XXI . Wellesley, MA: AK Peters. pag. 137.ISBN​ 1-56881-211-6. Zbl  1083.00001.
4. Connolly, Francisco. Universidad de Notre Dame ^{[ cita completa necesaria ]}
5. Barrow, John D (2002). Las constantes de la naturaleza . Londres: Jonathan Cape. pag. 72.ISBN​ 0-224-06135-6.
6. Gardner, Martín (abril de 1975). "Juegos Matemáticos". Científico americano . 232 (4). Scientific American, Inc: 127. Código bibliográfico : 1975SciAm.232e.102G. doi : 10.1038/scientificamerican0575-102.

Otras lecturas

• Alan Baker y Gisbert Wüstholz , Formas logarítmicas y geometría diofántica , Nuevas monografías matemáticas 9 , Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88268-2 

enlaces externos

• La constante de Gelfond en MathWorld
• Una nueva y compleja identidad de torre de energía para la constante de Gelfond
• Casi entero en MathWorld