Matriz de permutación generalizada

Matriz con una entrada distinta de cero en cada fila y columna

En matemáticas , una matriz de permutación generalizada (o matriz monomial ) es una matriz con el mismo patrón distinto de cero que una matriz de permutación , es decir, hay exactamente una entrada distinta de cero en cada fila y cada columna. A diferencia de una matriz de permutación, donde la entrada distinta de cero debe ser 1, en una matriz de permutación generalizada la entrada distinta de cero puede ser cualquier valor distinto de cero. Un ejemplo de una matriz de permutación generalizada es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&3&0\\0&-7&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.}$

Estructura

Una matriz invertible A es una matriz de permutación generalizada si y solo si puede escribirse como un producto de una matriz diagonal invertible D y una matriz de permutación (implícitamente invertible ) P : es decir,

${\displaystyle A=DP.}$

Estructura del grupo

El conjunto de matrices de permutación generalizadas n  ×  n con entradas en un campo F forma un subgrupo del grupo lineal general GL( n , F ), en el que el grupo de matrices diagonales no singulares Δ( n , F ) forma un subgrupo normal . De hecho, en todos los campos excepto GF(2) , las matrices de permutación generalizadas son el normalizador de las matrices diagonales, lo que significa que las matrices de permutación generalizadas son el subgrupo más grande de GL( n , F ) en el que las matrices diagonales son normales.

El grupo abstracto de matrices de permutación generalizadas es el producto corona de F ^× y S _n . Concretamente, esto significa que es el producto semidirecto de Δ( n , F ) por el grupo simétrico S _n :

S _n ⋉ Δ( n , F ),

donde S _n actúa permutando coordenadas y las matrices diagonales Δ( n , F ) son isomorfas al producto n -vez ( F ^× ) ⁿ .

Para ser precisos, las matrices de permutación generalizadas son una representación lineal (fiel) de este producto de corona abstracta: una realización del grupo abstracto como un subgrupo de matrices.

Subgrupos

• El subgrupo donde todas las entradas son 1 es exactamente la matriz de permutación , que es isomorfa al grupo simétrico.
• El subgrupo donde todas las entradas son ±1 son las matrices de permutación con signo , que es el grupo hiperoctaédrico .
• El subgrupo donde las entradas son raíces m de la unidad es isomorfo a un grupo simétrico generalizado . ${\displaystyle \mu _{m}}$
• El subgrupo de matrices diagonales es abeliano , normal y un subgrupo abeliano maximal. El grupo cociente es el grupo simétrico, y esta construcción es de hecho el grupo de Weyl del grupo lineal general: las matrices diagonales son un toro maximal en el grupo lineal general (y son su propio centralizador ), las matrices de permutación generalizadas son el normalizador de este toro, y el cociente, es el grupo de Weyl. ${\displaystyle N(T)/Z(T)=N(T)/T\cong S_{n}}$

Propiedades

• Si una matriz no singular y su inversa son ambas matrices no negativas (es decir, matrices con entradas no negativas), entonces la matriz es una matriz de permutación generalizada.
• El determinante de una matriz de permutación generalizada viene dado por donde es el signo de la permutación asociada con y son los elementos diagonales de . $${\displaystyle \det(G)=\det(P)\cdot \det(D)=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot d_{11}\cdot \ldots \cdot d_{nn},}$$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d_{11},\ldots ,d_{nn}}$ ${\displaystyle D}$

Generalizaciones

Se puede generalizar aún más permitiendo que las entradas se encuentren en un anillo , en lugar de en un cuerpo. En ese caso, si se requiere que las entradas distintas de cero sean unidades en el anillo, se obtiene nuevamente un grupo. Por otro lado, si solo se requiere que las entradas distintas de cero sean distintas de cero, pero no necesariamente invertibles, este conjunto de matrices forma un semigrupo .

También se puede permitir esquemáticamente que las entradas distintas de cero se encuentren en un grupo G, con el entendimiento de que la multiplicación de matrices solo implicará multiplicar un único par de elementos del grupo, no "agregar" elementos del grupo. Esto es un abuso de la notación , ya que los elementos de las matrices que se multiplican deben permitir la multiplicación y la adición, pero es una noción sugerente para el grupo abstracto (formalmente correcto) (el producto en corona del grupo G por el grupo simétrico). ${\displaystyle G\wr S_{n}}$

Grupo de permutación con signo

Una matriz de permutación con signo es una matriz de permutación generalizada cuyas entradas distintas de cero son ±1, y son matrices de permutación generalizadas enteras con inverso entero.

Propiedades

• Es el grupo Coxeter , y tiene orden . ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}n!}$
• Es el grupo de simetría del hipercubo y (dualmente) del politopo cruzado .
• Su subgrupo de índice 2 de matrices con determinante igual a su permutación subyacente (sin signo) es el grupo de Coxeter y es el grupo de simetría del semihipercubo . ${\displaystyle D_{n}}$
• Es un subgrupo del grupo ortogonal .

Aplicaciones

Representaciones monomiales

Las matrices monomiales aparecen en la teoría de la representación en el contexto de las representaciones monomiales . Una representación monomial de un grupo G es una representación lineal ρ  : G → GL( n , F ) de G (aquí F es el campo definitorio de la representación) tal que la imagen ρ ( G ) es un subgrupo del grupo de matrices monomiales.

Referencias

• Joyner, David (2008). Aventuras en la teoría de grupos. El cubo de Rubik, la máquina de Merlín y otros juguetes matemáticos (2.ª edición revisada y actualizada). Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9012-3.Zbl 1221.00013  .