En el campo matemático de la geometría métrica , Mikhael Gromov demostró un teorema fundamental de compacidad para secuencias de espacios métricos . En el caso especial de las variedades de Riemann , el supuesto clave de su teorema de compacidad se satisface automáticamente bajo un supuesto sobre la curvatura de Ricci . Estos teoremas han sido ampliamente utilizados en los campos de la teoría geométrica de grupos y la geometría de Riemann .
La distancia de Gromov-Hausdorff define una noción de distancia entre dos espacios métricos cualesquiera , estableciendo así el concepto de una secuencia de espacios métricos que converge a otro espacio métrico. Esto se conoce como convergencia Gromov-Hausdorff . Gromov encontró una condición en una secuencia de espacios métricos compactos que asegura que una subsecuencia converja a algún espacio métrico relativo a la distancia Gromov-Hausdorff: [1]
Sea ( X i , d i ) una secuencia de espacios métricos compactos con un diámetro uniformemente acotado. Supongamos que por cada número positivo ε existe un número natural N y, para cada i , el conjunto X i puede estar cubierto por N bolas métricas de radio ε . Entonces la secuencia ( Xi , d i ) tiene una subsecuencia que converge en relación con la distancia de Gromov-Hausdorff .
El papel de este teorema en la teoría de la convergencia de Gromov-Hausdorff puede considerarse análogo al papel del teorema de Arzelà-Ascoli en la teoría de la convergencia uniforme . [2] Gromov lo introdujo formalmente por primera vez en su resolución de 1981 de la conjetura de Milnor-Wolf en el campo de la teoría geométrica de grupos , donde la aplicó para definir el cono asintótico de ciertos espacios métricos. [3] Estas técnicas fueron posteriormente ampliadas por Gromov y otros, utilizando la teoría de los ultrafiltros . [4]
Especializado en el establecimiento de variedades de Riemann geodésicamente completas con un límite inferior fijo en la curvatura de Ricci , la condición de cobertura crucial en el teorema de compacidad métrica de Gromov se satisface automáticamente como corolario del teorema de comparación de volúmenes de Bishop-Gromov . De ello se desprende que: [5]
Considere una secuencia de variedades de Riemann cerradas con un límite inferior uniforme en la curvatura de Ricci y un límite superior uniforme en el diámetro. Entonces hay una subsecuencia que converge con respecto a la distancia de Gromov-Hausdorff.
El límite de una subsecuencia convergente puede ser un espacio métrico sin ninguna estructura suave o riemanniana. [6] Este caso especial del teorema de compacidad métrica es significativo en el campo de la geometría de Riemann , ya que aísla las consecuencias puramente métricas de los límites inferiores de la curvatura de Ricci.
Fuentes.