Generalización de la derivada de una función.
En matemáticas , una derivada débil es una generalización del concepto de derivada de una función ( derivada fuerte ) para funciones que no se suponen diferenciables , sino sólo integrables , es decir, que se encuentran en el espacio L p .
El método de integración por partes sostiene que para funciones diferenciables y tenemos
Una función u ' que es la derivada débil de u se define esencialmente por el requisito de que esta ecuación debe cumplirse para todas las funciones infinitamente diferenciables que desaparecen en los puntos límite ( ).
Definición
Sea una función en el espacio de Lebesgue . Decimos que in es una derivada débil de if
para todas las funciones infinitamente diferenciables con .
Generalizando a dimensiones, si y están en el espacio de funciones localmente integrables para algún conjunto abierto , y si es un índice múltiple , decimos que es la derivada débil de si
para todos , es decir, para todas las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto en . Aquí se define como
Si tiene una derivada débil, a menudo se escribe porque las derivadas débiles son únicas (al menos, hasta un conjunto de medida cero , ver más abajo).
Ejemplos
- La función de valor absoluto , que no es diferenciable en tiene una derivada débil conocida como función de signo , y está dada por
Esta no es la única derivada débil de u : cualquier w que sea igual a v en casi todas partes también es una derivada débil de u . (En particular, la definición de v (0) anterior es superflua y puede reemplazarse con cualquier número real r deseado). Por lo general, esto no es un problema, ya que en la teoría de los espacios L p y los espacios de Sobolev , funciones que son iguales casi en todas partes están identificados. - La función característica de los números racionales no es diferenciable en ninguna parte pero tiene una derivada débil. Como la medida de Lebesgue de los números racionales es cero,
Por tanto, es una derivada débil de . Tenga en cuenta que esto sí concuerda con nuestra intuición ya que cuando se considera como miembro de un espacio Lp, se identifica con la función cero. - La función de Cantor c no tiene una derivada débil, a pesar de ser diferenciable en casi todas partes. Esto se debe a que cualquier derivada débil de c tendría que ser igual en casi todas partes a la derivada clásica de c , que es cero en casi todas partes. Pero la función cero no es una derivada débil de c , como puede verse al compararla con una función de prueba apropiada . Más teóricamente, c no tiene una derivada débil porque su derivada distribucional , es decir, la distribución de Cantor , es una medida singular y, por tanto, no puede representarse mediante una función.
Propiedades
Si dos funciones son derivadas débiles de la misma función, son iguales excepto en un conjunto con medida de Lebesgue cero, es decir, son iguales en casi todas partes . Si consideramos clases de equivalencia de funciones tales que dos funciones son equivalentes si son iguales en casi todas partes, entonces la derivada débil es única.
Además, si u es diferenciable en el sentido convencional, entonces su derivada débil es idéntica (en el sentido dado anteriormente) a su derivada convencional (fuerte). Por tanto, la derivada débil es una generalización de la fuerte. Además, las reglas clásicas para derivadas de sumas y productos de funciones también se aplican a la derivada débil.
Extensiones
Este concepto da lugar a la definición de soluciones débiles en espacios de Sobolev , que son útiles para problemas de ecuaciones diferenciales y en análisis funcional .
Ver también
Referencias
- Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Berlín: Springer. pag. 149.ISBN _ 3-540-41160-7.
- Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. pag. 242.ISBN _ 0-8218-0772-2.
- Knabner, Peter; Angermann, Lutz (2003). Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas . Nueva York: Springer. pag. 53.ISBN _ 0-387-95449-X.