Contracción (teoría de operadores)

Operadores acotados con norma de subunidad

En teoría de operadores , se dice que un operador acotado T : X → Y entre espacios vectoriales normados X e Y es una contracción si su norma de operador || T || ≤ 1. Esta noción es un caso especial del concepto de aplicación de contracción , pero todo operador acotado se convierte en una contracción después de un escalamiento adecuado. El análisis de las contracciones proporciona información sobre la estructura de los operadores, o una familia de operadores. La teoría de las contracciones en el espacio de Hilbert se debe en gran medida a Béla Szőkefalvi-Nagy y Ciprian Foias .

Contracciones en un espacio de Hilbert

Si T es una contracción que actúa sobre un espacio de Hilbert , se pueden definir los siguientes objetos básicos asociados con T. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Los operadores de defecto de T son los operadores D _T  = (1 −  T*T ) ^½ y D _T*  = (1 −  TT* ) ^½ . La raíz cuadrada es la semidefinida positiva dada por el teorema espectral . Los espacios de defecto y son la clausura de los rangos Ran( D _T ) y Ran( D _T* ) respectivamente. El operador positivo D _T induce un producto interno en . El espacio de producto interno puede identificarse naturalmente con Ran( D _T ). Una afirmación similar es válida para . ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{T*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{T*}}$

Los índices de defecto de T son el par

${\displaystyle (\dim {\mathcal {D}}_{T},\dim {\mathcal {D}}_{T^{*}}).}$

Los operadores de defecto y los índices de defecto son una medida de la no unitaridad de T.

Una contracción T en un espacio de Hilbert se puede descomponer canónicamente en una suma directa ortogonal

${\displaystyle T=\Gamma \oplus U}$

donde U es un operador unitario y Γ es completamente no unitario en el sentido de que no tiene subespacios reductores distintos de cero en los que su restricción sea unitaria. Si U  = 0, se dice que T es una contracción completamente no unitaria . Un caso especial de esta descomposición es la descomposición de Wold para una isometría , donde Γ es una isometría propia.

Las contracciones en los espacios de Hilbert pueden considerarse como operadores análogos de cos θ y se denominan ángulos operadores en algunos contextos. La descripción explícita de las contracciones conduce a parametrizaciones (operativas) de matrices positivas y unitarias.

Teorema de dilatación para contracciones

El teorema de dilatación de Sz.-Nagy , demostrado en 1953, establece que para cualquier contracción T en un espacio de Hilbert H , existe un operador unitario U en un espacio de Hilbert mayor K ⊇ H tal que si P es la proyección ortogonal de K sobre H entonces T ⁿ = P U ⁿ P para todo n > 0. El operador U se denomina dilatación de T y está determinado de forma única si U es mínimo, es decir, K es el subespacio cerrado más pequeño invariante bajo U y U * que contiene a H .

De hecho define ^[1]

${\displaystyle \displaystyle {{\mathcal {H}}=H\oplus H\oplus H\oplus \cdots ,}}$

la suma directa ortogonal de un número contable de copias de H.

Sea V la isometría definida por ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \displaystyle {V(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\dots )=(T\xi _{1},{\sqrt {I-T^{*}T}}\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\dots ).}}$

Dejar

${\displaystyle \displaystyle {{\mathcal {K}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}.}}$

Definir una W unitaria por ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle \displaystyle {W(x,y)=(Vx+(I-VV^{*})y,-V^{*}y).}}$

W es entonces una dilatación unitaria de T con H considerado como el primer componente de . ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {K}}}$

La dilatación mínima U se obtiene tomando la restricción de W al subespacio cerrado generado por potencias de W aplicadas a H.

Teorema de dilatación para semigrupos de contracción

Existe una prueba alternativa del teorema de dilatación de Sz.-Nagy, que permite una generalización significativa. ^[2]

Sea G un grupo, U ( g ) una representación unitaria de G en un espacio de Hilbert K y P una proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado H = PK de K .

La función con valor de operador

${\displaystyle \displaystyle {\Phi (g)=PU(g)P,}}$

con valores en operadores en K satisface la condición de definitividad positiva

${\displaystyle \sum \lambda _{i}{\overline {\lambda _{j}}}\Phi (g_{j}^{-1}g_{i})=PT^{*}TP\geq 0,}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle {T=\sum \lambda _{i}U(g_{i}).}}$

Además,

${\displaystyle \displaystyle {\Phi (1)=P.}}$

Por el contrario, toda función definida positiva con valor de operador surge de esta manera. Recordemos que toda función definida positiva con valor escalar (continua) en un grupo topológico induce un producto interno y una representación de grupo φ( g ) = 〈U _g v , v〉 donde U _g es una representación unitaria (fuertemente continua) (véase el teorema de Bochner ). Reemplazando v , una proyección de rango 1, por una proyección general se obtiene el enunciado con valor de operador. De hecho, la construcción es idéntica; esto se esquematiza a continuación.

Sea el espacio de funciones en G de soporte finito con valores en H con producto interno ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \displaystyle {(f_{1},f_{2})=\sum _{g,h}(\Phi (h^{-1}g)f_{1}(g),f_{2}(h)).}}$

G actúa unitariamente sobre ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \displaystyle {U(g)f(x)=f(g^{-1}x).}}$

Además, H puede identificarse con un subespacio cerrado de utilizando la incrustación isométrica enviando v en H a f _v con ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle f_{v}(g)=\delta _{g,1}v.\,}$

Si P es la proyección de sobre H , entonces ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \displaystyle {PU(g)P=\Phi (g),}}$

utilizando la identificación anterior.

Cuando G es un grupo topológico separable, Φ es continuo en la topología del operador fuerte (o débil) si y solo si U lo es.

En este caso, las funciones soportadas en un subgrupo denso contable de G son densas en , por lo que son separables. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Cuando G = Z cualquier operador de contracción T define dicha función Φ a través de

${\displaystyle \displaystyle \Phi (0)=I,\,\,\,\Phi (n)=T^{n},\,\,\,\Phi (-n)=(T^{*})^{n},}$

para n > 0. La construcción anterior produce entonces una dilatación unitaria mínima.

El mismo método se puede aplicar para demostrar un segundo teorema de dilatación de Sz._Nagy para un semigrupo de contracción fuertemente continuo de un parámetro T ( t ) ( t ≥ 0) en un espacio de Hilbert H . Cooper (1947) había demostrado previamente el resultado para semigrupos de isometrías de un parámetro, ^[3]

El teorema establece que existe un espacio de Hilbert más grande K que contiene a H y una representación unitaria U ( t ) de R tal que

${\displaystyle \displaystyle {T(t)=PU(t)P}}$

y las traducidas U ( t ) H generan K .

De hecho, T ( t ) define una función positiva definida con valor de operador continuo Φ en R a través de

${\displaystyle \displaystyle {\Phi (0)=I,\,\,\,\Phi (t)=T(t),\,\,\,\Phi (-t)=T(t)^{*},}}$

para t > 0. Φ es definido positivo en subgrupos cíclicos de R , por el argumento de Z , y por lo tanto en R mismo por continuidad.

La construcción anterior produce una representación unitaria mínima U ( t ) y una proyección P .

El teorema de Hille-Yosida asigna un operador cerrado e ilimitado A a cada semigrupo contractivo de un parámetro T' ( t ) hasta

${\displaystyle \displaystyle {A\xi =\lim _{t\downarrow 0}{1 \over t}(T(t)-I)\xi ,}}$

donde el dominio en A consiste en todos los ξ para los cuales existe este límite.

A se llama generador del semigrupo y satisface

${\displaystyle \displaystyle {-\Re (A\xi ,\xi )\geq 0}}$

en su dominio. Cuando A es un operador autoadjunto

${\displaystyle \displaystyle {T(t)=e^{At},}}$

en el sentido del teorema espectral y esta notación se utiliza de forma más general en la teoría de semigrupos.

El cogenerador del semigrupo es la contracción definida por

${\displaystyle \displaystyle {T=(A+I)(A-I)^{-1}.}}$

A se puede recuperar de T utilizando la fórmula

${\displaystyle \displaystyle {A=(T+I)(T-I)^{-1}.}}$

En particular, una dilatación de T en K ⊃ H da inmediatamente una dilatación del semigrupo. ^[4]

Cálculo funcional

Sea T una contracción totalmente no unitaria en H . Entonces la dilatación unitaria mínima U de T en K ⊃ H es unitariamente equivalente a una suma directa de copias del operador de desplazamiento bilateral, es decir, la multiplicación por z en L ² ( S ¹ ). ^[5]

Si P es la proyección ortogonal sobre H entonces para f en L ^∞ = L ^∞ ( S ¹ ) se deduce que el operador f ( T ) puede definirse por

${\displaystyle \displaystyle {f(T)\xi =Pf(U)\xi .}}$

Sea H ^∞ el espacio de funciones holomorfas acotadas en el disco unitario D . Cualquier función de este tipo tiene valores de contorno en L ^∞ y está determinada de forma única por estos, de modo que hay una incrustación H ^∞ ⊂ L ^∞ .

Para f en H ^∞ , f ( T ) puede definirse sin referencia a la dilatación unitaria.

De hecho, si

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}}$

para | z | < 1, entonces para r < 1

${\displaystyle \displaystyle {f_{r}(z))=\sum _{n\geq 0}r^{n}a_{n}z^{n}}}$

es holomórfico en | z | < 1/ r .

En ese caso, f _r ( T ) se define mediante el cálculo funcional holomorfo y f ( T ) se puede definir mediante

${\displaystyle \displaystyle {f(T)\xi =\lim _{r\rightarrow 1}f_{r}(T)\xi .}}$

La función que envía f a f ( T ) define un homomorfismo algebraico de H ^∞ en operadores acotados en H . Además, si

${\displaystyle \displaystyle {f^{\sim }(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}{\overline {z}}^{n},}}$

entonces

${\displaystyle \displaystyle {f^{\sim }(T)=f(T^{*})^{*}.}}$

Este mapa tiene la siguiente propiedad de continuidad: si una secuencia uniformemente acotada f _n tiende casi en todas partes a f , entonces f _n ( T ) tiende a f ( T ) en la topología del operador fuerte.

Para t ≥ 0, sea e _t la función interna

${\displaystyle \displaystyle {e_{t}(z)=\exp t{z+1 \over z-1}.}}$

Si T es el cogenerador de un semigrupo de un parámetro de contracciones completamente no unitarias T ( t ), entonces

${\displaystyle \displaystyle {T(t)=e_{t}(T)}}$

y

${\displaystyle \displaystyle {T={1 \over 2}I-{1 \over 2}\int _{0}^{\infty }e^{-t}T(t)\,dt.}}$

do0contracciones

Se dice que una contracción completamente no unitaria T pertenece a la clase C ₀ si y solo si f ( T ) = 0 para alguna f no nula en H ^∞ . En este caso, el conjunto de tales f forma un ideal en H ^∞ . Tiene la forma φ ⋅ H ^∞ donde g es una función interna , es decir, tal que |φ| = 1 en S ¹ : φ está unívocamente determinada hasta la multiplicación por un número complejo de módulo 1 y se denomina función mínima de T . Tiene propiedades análogas al polinomio mínimo de una matriz.

La función mínima φ admite una factorización canónica

${\displaystyle \displaystyle {\varphi (z)=cB(z)e^{-P(z)},}}$

donde | c |=1, B ( z ) es un producto de Blaschke

${\displaystyle \displaystyle {B(z)=\prod \left[{|\lambda _{i}| \over \lambda _{i}}{\lambda _{i}-z \over 1-{\overline {\lambda }}_{i}}\right]^{m_{i}},}}$

con

${\displaystyle \displaystyle {\sum m_{i}(1-|\lambda _{i}|)<\infty ,}}$

y P ( z ) es holomorfo con parte real no negativa en D . Por el teorema de representación de Herglotz ,

${\displaystyle \displaystyle {P(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta )}}$

Para una medida finita no negativa μ en el círculo: en este caso, si no es cero, μ debe ser singular con respecto a la medida de Lebesgue. En la descomposición anterior de φ, cualquiera de los dos factores puede estar ausente.

La función mínima φ determina el espectro de T . Dentro del disco unitario, los valores espectrales son los ceros de φ. Hay como máximo un número contable de tales λ _i , todos valores propios de T , los ceros de B ( z ). Un punto del círculo unitario no se encuentra en el espectro de T si y solo si φ tiene una continuación holomorfa hasta una vecindad de ese punto.

φ se reduce a un producto de Blaschke exactamente cuando H es igual al cierre de la suma directa (no necesariamente ortogonal) de los espacios propios generalizados ^[6]

${\displaystyle \displaystyle {H_{i}=\{\xi :(T-\lambda _{i}I)^{m_{i}}\xi =0\}.}}$

Cuasi-similitud

Se dice que dos contracciones T ₁ y T ₂ son cuasi-similares cuando hay operadores acotados A , B con núcleo trivial y rango denso tales que

${\displaystyle \displaystyle {AT_{1}=T_{2}A,\,\,\,BT_{2}=T_{1}B.}}$

Las siguientes propiedades de una contracción T se conservan bajo cuasisemejanza:

• ser unitario
• siendo completamente no unitario
• Estar en la clase C ₀
• ser libre de multiplicidad , es decir, tener un conmutador conmutativo

_{Dos contracciones de C0} cuasi similares tienen la misma función mínima y, por lo tanto, el mismo espectro.

El teorema de clasificación para contracciones C ₀ establece que dos contracciones C ₀ libres de multiplicidad son cuasi similares si y solo si tienen la misma función mínima (hasta un múltiplo escalar). ^[7]

Se proporciona un modelo para contracciones C ₀ libres de multiplicidad con función mínima φ tomando

${\displaystyle \displaystyle {H=H^{2}\ominus \varphi H^{2},}}$

donde H ² es el espacio de Hardy del círculo y siendo T la multiplicación por z . ^[8]

Estos operadores se denominan bloques de Jordan y se denotan S (φ).

Como generalización del teorema de Beurling , el conmutador de dicho operador consiste exactamente en los operadores ψ( T ) con ψ en H ^≈ , es decir, operadores de multiplicación en H ² correspondientes a funciones en H ^≈ .

El operador de contracción AC ₀ T es libre de multiplicidad si y sólo si es cuasi-similar a un bloque de Jordan (necesariamente correspondiente al correspondiente a su función mínima).

Ejemplos.

• Si una contracción T es cuasi-similar a un operador S con

${\displaystyle \displaystyle {Se_{i}=\lambda _{i}e_{i}}}$

con λ _i 's distintos, de módulo menor que 1, tales que

${\displaystyle \displaystyle {\sum (1-|\lambda _{i}|)<1}}$

y ( e _i ) es una base ortonormal, entonces S , y por lo tanto T , es C ₀ y libre de multiplicidad. Por lo tanto, H es la clausura de la suma directa de los λ _i -autoespacios de T , cada uno con multiplicidad uno. Esto también se puede ver directamente usando la definición de cuasisemejanza.

• Los resultados anteriores se pueden aplicar igualmente bien a semigrupos de un parámetro, ya que, a partir del cálculo funcional, dos semigrupos son cuasi-similares si y solo si sus cogeneradores son cuasi-similares. ^[9]

Teorema de clasificación para contracciones C ₀ : Toda contracción C ₀ es canónicamente cuasi-similar a una suma directa de bloques de Jordan.

De hecho, cada contracción de C ₀ es casi similar a un operador único de la forma

${\displaystyle \displaystyle {S=S(\varphi _{1})\oplus S(\varphi _{1}\varphi _{2})\oplus S(\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3})\oplus \cdots }}$

donde φ _n son funciones internas determinadas de forma única, siendo φ ₁ la función mínima de S y, por tanto, de T. ^[10]

Véase también

• Mapeo de contracción  : función que reduce la distancia entre todos los puntos
• Desigualdad de Kallman-Rota
• Teorema de dilatación de Stinespring
• Teorema de Hille-Yosida para semigrupos de contracción

Notas

1. Sz.-Nagy et al. 2010, págs. 10-14
2. Sz.-Nagy et al. 2010, págs. 24-28
3. Sz.-Nagy et al. 2010, págs. 28-30
4. Sz.-Nagy et al. 2010, págs. 143, 147
5. Sz.-Nagy et al. 2010, págs. 87–88
6. Sz.-Nagy et al. 2010, pág. 138
7. Sz.-Nagy et al. 2010, págs. 395–440
8. Sz.-Nagy et al. 2010, pág. 126
9. Bercovici 1988, pág. 95
10. Bercovici 1988, págs. 35-66

Referencias

• Bercovici, H. (1988), Teoría de operadores y aritmética en H ^∞ , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 26, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1528-8
• Cooper, JLB (1947), "Semigrupos de un parámetro de operadores isométricos en el espacio de Hilbert", Ann. of Math. , 48 (4): 827–842, doi :10.2307/1969382, JSTOR  1969382
• Gamelin, TW (1969), Álgebras uniformes , Prentice-Hall
• Hoffman, K. (1962), Espacios de Banach de funciones analíticas , Prentice-Hall
• Sz.-Nagy, B.; Foias, C.; Bercovici, H.; Kérchy, L. (2010), Análisis armónico de operadores en el espacio de Hilbert , Universitext (Segunda ed.), Springer, ISBN 978-1-4419-6093-1
• Riesz, F.; Sz.-Nagy, B. (1995), Análisis funcional. Reimpresión del original de 1955 , Dover Books on Advanced Mathematics, Dover, págs. 466–472, ISBN 0-486-66289-6