congruo

Espaciado entre números cuadrados equidistantes

Los dos triángulos rectángulos con cateto e hipotenusa (7,13) y (13,17) tienen terceros lados iguales de longitud . El cuadrado de este lado, 120, es congruente: es la diferencia entre valores consecutivos en la progresión aritmética de los cuadrados 7 ² , 13 ² , 17 ² . De manera equivalente, los dos anillos entre los tres círculos amarillos tienen áreas iguales, π veces el congruum. ${\displaystyle {\sqrt {120}}}$

En teoría de números , un congruum (plural congrua ) es la diferencia entre números cuadrados sucesivos en una progresión aritmética de tres cuadrados. Es decir, si , y (para números enteros , y ) son tres números cuadrados que están igualmente espaciados entre sí, entonces el espacio entre ellos, se llama congruo. ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2}}$

El problema de congruo es el problema de encontrar cuadrados en progresión aritmética y sus congruos asociados. ^[1] Puede formalizarse como una ecuación diofántica : encuentre números enteros , y tales que cuando se satisface esta ecuación, ambos lados de la ecuación son iguales al congruo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle y^{2}-x^{2}=z^{2}-y^{2}.}$$

Fibonacci resolvió el problema de los congruos encontrando una fórmula parametrizada para generar todos los congruos, junto con sus progresiones aritméticas asociadas. Según esta fórmula, cada congruum es cuatro veces el área de un triángulo pitagórico . Los congruos también están estrechamente relacionados con los números congruentes : todo congruo es un número congruente y todo número congruente es un congruo multiplicado por el cuadrado de un número racional.

Ejemplos

Por ejemplo, el número 96 es congruente porque es la diferencia entre cuadrados adyacentes en la secuencia 4, 100 y 196 (los cuadrados de 2, 10 y 14 respectivamente).

Las primeras congruas son:

24, 96, 120, 216, 240, 336, 384, 480, 600, 720… (secuencia A256418 en la OEIS ).

Historia

El problema del congruum fue planteado originalmente en 1225, como parte de un torneo matemático celebrado por Federico II, emperador del Sacro Imperio Romano Germánico , y respondido correctamente en ese momento por Fibonacci , quien registró su trabajo sobre este problema en su Libro de los Cuadrados . ^[2]

Fibonacci ya era consciente de que es imposible que un congruum sea en sí mismo un cuadrado, pero no dio una prueba satisfactoria de este hecho. ^[3] Geométricamente, esto significa que no es posible que el par de catetos de un triángulo pitagórico sea el cateto y la hipotenusa de otro triángulo pitagórico. Finalmente, Pierre de Fermat proporcionó una demostración , y el resultado ahora se conoce como teorema del triángulo rectángulo de Fermat . Fermat también conjeturó, y Leonhard Euler demostró, que no existe una secuencia de cuatro cuadrados en progresión aritmética. ^{[4] [5]}

Solución parametrizada

El problema de congruo se puede resolver eligiendo dos números enteros positivos distintos y (con ); entonces el número es congruente. El cuadrado medio de la progresión aritmética de cuadrados asociada es , y los otros dos cuadrados se pueden encontrar sumando o restando el congruum. Además, multiplicar un congruum por un número cuadrado produce otro congruum, cuya progresión de cuadrados se multiplica por el mismo factor. Todas las soluciones surgen de una de estas dos formas. ^[1] Por ejemplo, el congruum 96 se puede construir mediante estas fórmulas con y , mientras que el congruum 216 se obtiene multiplicando el congruum más pequeño 24 por el número cuadrado 9. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle 4mn(m^{2}-n^{2})}$ ${\displaystyle (m^{2}+n^{2})^{2}}$ ${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle n=1}$

Una formulación equivalente de esta solución, dada por Bernard Frénicle de Bessy , es que para los tres cuadrados en progresión aritmética , y , el número medio es la hipotenusa de un triángulo pitagórico y los otros dos números son la diferencia y la suma respectivamente de los dos catetos del triángulo. ^[6] El congruum en sí es cuatro veces el área del mismo triángulo pitagórico. El ejemplo de una progresión aritmética con el congruum 96 se puede obtener de esta manera a partir de un triángulo rectángulo con lados e hipotenusa de longitud 6, 8 y 10. ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$

Relación con números congruentes

Un número congruente se define como el área de un triángulo rectángulo de lados racionales. Como todo congruo se puede obtener (usando la solución parametrizada) como el área de un triángulo pitagórico, se deduce que todo congruo es congruente. Por el contrario, todo número congruente es congruente multiplicado por el cuadrado de un número racional. ^[7] Sin embargo, probar si un número es congruente es mucho más fácil que probar si un número es congruente. Para el problema de congruo, la solución parametrizada reduce este problema de prueba a verificar un conjunto finito de valores de parámetros. Por el contrario, para el problema de números congruentes, un procedimiento de prueba finito se conoce sólo de forma conjetural, a través del teorema de Tunnell , bajo el supuesto de que la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es cierta. ^[8]

Ver también

• Triángulo automediano , triángulo en el que los cuadrados de los tres lados forman una progresión aritmética
• Espiral de Teodoro , formada por triángulos rectángulos cuyos lados (no enteros), al cuadrado, forman una progresión aritmética infinita

Referencias

1. Darling, David (2004), El libro universal de las matemáticas: de Abracadabra a las paradojas de Zenón, John Wiley & Sons, p. 77, ISBN 978-0-471-66700-1.
2. Bradley, Michael John (2006), El nacimiento de las matemáticas: desde la antigüedad hasta 1300, Infobase Publishing, p. 124, ISBN 978-0-8160-5423-7.
3. Ore, Øystein (2012), La teoría de números y su historia, Courier Dover Corporation, págs. 202-203, ISBN 978-0-486-13643-1.
4. Erickson, Martin J. (2011), Beautiful Mathematics, MAA Spectrum, Asociación Matemática de América, págs. 94–95, ISBN 978-0-88385-576-8.
5. La prueba de Euler no está claramente escrita. Se proporciona una prueba elemental en Brown, Kevin, "No Four Squares In Arithmetic Progression", MathPages , consultado el 6 de diciembre de 2014..
6. Beiler, Albert H. (1964), Recreaciones en la teoría de números: la reina de las matemáticas entretiene, Courier Corporation, p. 153, ISBN 978-0-486-21096-4.
7. Conrad, Keith (otoño de 2008), "El problema de los números congruentes" (PDF) , Harvard College Mathematical Review , 2 (2): 58–73, archivado desde el original (PDF) el 20 de enero de 2013.
8. Koblitz, Neal (1984), Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares , Textos de posgrado en matemáticas, núm. 97, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97966-2

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Problema de congruo", MathWorld