fórmula de rydberg

Fórmula para longitudes de onda de líneas espectrales en metales alcalinos

La fórmula de Rydberg tal como aparece en un registro de noviembre de 1888

En física atómica , la fórmula de Rydberg calcula las longitudes de onda de una línea espectral en muchos elementos químicos . La fórmula se presentó principalmente como una generalización de la serie de Balmer para todas las transiciones electrónicas atómicas del hidrógeno . Fue afirmado empíricamente por primera vez en 1888 por el físico sueco Johannes Rydberg , ^[1] luego teóricamente por Niels Bohr en 1913, quien utilizó una forma primitiva de mecánica cuántica. La fórmula generaliza directamente las ecuaciones utilizadas para calcular las longitudes de onda de la serie espectral del hidrógeno .

Historia

En 1890, Rydberg propuso una fórmula que describe la relación entre las longitudes de onda en las líneas espectrales de los metales alcalinos. ^{[2] : v1:376} Se dio cuenta de que las líneas venían en serie y descubrió que podía simplificar sus cálculos usando el número de onda (el número de ondas que ocupan la unidad de longitud , igual a 1/ λ , la inversa de la longitud de onda ) como su unidad de medida. Trazó los números de onda ( n ) de líneas sucesivas en cada serie frente a números enteros consecutivos que representaban el orden de las líneas en esa serie en particular. Al descubrir que las curvas resultantes tenían formas similares, buscó una función única que pudiera generarlas todas, cuando se insertaban las constantes apropiadas.

Primero probó la fórmula: , donde n es el número de onda de la línea, n ₀ es el límite de la serie, m es el número ordinal de la línea en la serie, m' es una constante diferente para diferentes series y C ₀ es una constante universal. Esto no funcionó muy bien. ${\displaystyle \textstyle n=n_{0}-{\frac {C_{0}}{m+m'}}}$

Rydberg lo estaba intentando: cuando se dio cuenta de la fórmula de Balmer para el espectro del hidrógeno. En esta ecuación, m es un número entero y h es una constante (que no debe confundirse con la posterior constante de Planck ). ${\displaystyle \textstyle n=n_{0}-{\frac {C_{0}}{\left(m+m'\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda ={hm^{2} \over m^{2}-4}}$

Por lo tanto, Rydberg reescribió la fórmula de Balmer en términos de números de onda, como . ${\displaystyle \textstyle n=n_{0}-{4n_{0} \over m^{2}}}$

Esto sugirió que la fórmula de Balmer para el hidrógeno podría ser un caso especial con y , donde , el recíproco de la constante de Balmer (esta constante h se escribe B en el artículo sobre la ecuación de Balmer , nuevamente para evitar confusión con la constante de Planck). ${\displaystyle \textstyle m'=0}$ ${\displaystyle {\text{C}}_{0}=4n_{0}}$ ${\displaystyle \textstyle n_{0}={\frac {1}{h}}}$

Se encontró que el término era una constante universal común a todos los elementos, igual a 4/ h . Esta constante se conoce ahora como constante de Rydberg , y m ′ se conoce como defecto cuántico . ${\displaystyle {\text{C}}_{0}}$

Como destacó Niels Bohr , ^[3] expresar los resultados en términos de número de onda, no de longitud de onda, fue la clave del descubrimiento de Rydberg. El papel fundamental de los números de onda también fue enfatizado por el principio de combinación de Rydberg-Ritz de 1908. La razón fundamental de esto reside en la mecánica cuántica . El número de onda de la luz es proporcional a la frecuencia y, por tanto , también proporcional a la energía cuántica de la luz E. Por tanto, (en esta fórmula la h representa la constante de Planck). La comprensión moderna es que los hallazgos de Rydberg fueron un reflejo de la simplicidad subyacente del comportamiento de las líneas espectrales, en términos de diferencias de energía fijas (cuantizadas) entre los orbitales de los electrones en los átomos. La expresión clásica de Rydberg de 1888 para la forma de la serie espectral no iba acompañada de una explicación física. La explicación anterior a la cuántica de 1908 de Walther Ritz para el mecanismo subyacente a las series espectrales era que los electrones atómicos se comportaban como imanes y que los imanes podían vibrar con respecto al núcleo atómico (al menos temporalmente) para producir radiación electromagnética, ^[4] pero esto La teoría fue reemplazada en 1913 por el modelo del átomo de Niels Bohr . ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {f}{c}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {E}{hc}}}$

Interpretación de Bohr y derivación de la constante.

La fórmula publicada por Rydberg fue ^[1]

$${\displaystyle \pm {\frac {n}{N_{0}}}={\frac {1}{(m_{1}+\mu _{1})^{2}}}-{\frac {1}{(m_{2}+\mu _{2})^{2}}}}$$

^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle m_{1},\mu _{1},m_{2},\mu _{2}}$

$${\displaystyle \nu ={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{3}}}\left({\frac {1}{\tau _{2}^{2}}}-{\frac {1}{\tau _{1}^{2}}}\right)}$$

${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{2}=1}$

En la concepción del átomo de Bohr, los números enteros n de Rydberg (y Balmer) representan orbitales de electrones a diferentes distancias integrales del átomo. Por lo tanto , una frecuencia (o energía espectral) emitida en una transición de n ₁ a n ₂ representa la energía del fotón emitida o absorbida cuando un electrón salta del orbital 1 al orbital 2.

Modelos posteriores encontraron que los valores de n ₁ y n ₂ correspondían a los números cuánticos principales de los dos orbitales.

Para hidrógeno

$${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=R_{\text{H}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right),}$$

• ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {vac} }}$es la longitud de onda de la radiación electromagnética emitida en el vacío ,
• ${\displaystyle R_{\text{H}}}$es la constante de Rydberg para el hidrógeno, aproximadamente1.096 775 83 × 10 ⁷  metro ⁻¹ ,
• ${\displaystyle n_{1}}$es el número cuántico principal de un nivel de energía, y
• ${\displaystyle n_{2}}$es el número cuántico principal de un nivel de energía para la transición electrónica atómica .

Nota: Aquí, ${\displaystyle n_{2}>n_{1}}$

Poniendo a 1 y dejando correr desde 2 hasta el infinito, se obtienen las líneas espectrales conocidas como serie de Lyman que convergen a 91 nm, de la misma manera: ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$

Una comparación visual de la serie espectral de hidrógeno para n ₁ = 1 an 1 = ₆ en una escala logarítmica

Para cualquier elemento similar al hidrógeno.

La fórmula anterior se puede ampliar para su uso con cualquier elemento químico similar al hidrógeno con

$${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=RZ^{2}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right),}$$

dónde

• ${\displaystyle \lambda }$es la longitud de onda (en el vacío ) de la luz emitida,
• ${\displaystyle R}$es la constante de Rydberg para este elemento,
• ${\displaystyle Z}$es el número atómico , es decir, el número de protones en el núcleo atómico de este elemento,
• ${\displaystyle n_{1}}$es el número cuántico principal del nivel de energía inferior, y
• ${\displaystyle n_{2}}$es el número cuántico principal del nivel de energía superior para la transición electrónica atómica .

Esta fórmula se puede aplicar directamente sólo a átomos de elementos químicos similares al hidrógeno , también llamados átomos hidrogenados , es decir, átomos con un solo electrón afectados por una carga nuclear efectiva (que se puede estimar fácilmente). Los ejemplos incluirían He ⁺ , Li ²⁺ , Be ³⁺ , etc., donde no existen otros electrones en el átomo.

Pero la fórmula de Rydberg también proporciona longitudes de onda correctas para electrones distantes, donde la carga nuclear efectiva puede estimarse como la misma que la del hidrógeno, ya que todas menos una de las cargas nucleares han sido apantalladas por otros electrones, y el núcleo del átomo tiene una carga positiva efectiva de +1.

Finalmente, con ciertas modificaciones (sustitución de Z por Z − 1, y uso de los números enteros 1 y 2 para los n s para dar un valor numérico de 3 ⁄ 4 para la diferencia de sus cuadrados inversos), la fórmula de Rydberg proporciona valores correctos en el caso especial de las líneas K-alfa , ya que la transición en cuestión es la transición K-alfa del electrón del orbital 1s al orbital 2p. Esto es análogo a la transición de la línea Lyman-alfa para el hidrógeno y tiene el mismo factor de frecuencia. Debido a que el electrón 2p no está protegido por ningún otro electrón del átomo desde el núcleo, la carga nuclear disminuye sólo por el único electrón 1s restante, lo que hace que el sistema sea efectivamente un átomo hidrogénico, pero con una carga nuclear disminuida Z − 1. Su frecuencia es, por tanto, la frecuencia del hidrógeno Lyman-alfa, aumentada en un factor de ( Z − 1) ² . Esta fórmula de f = c / λ = (frecuencia Lyman-alfa)⋅( Z − 1) ² se conoce históricamente como ley de Moseley (habiéndose agregado un factor c para convertir la longitud de onda en frecuencia) y se puede usar para predecir longitudes de onda de la Líneas de emisión espectral de rayos X K _α (K-alfa) de elementos químicos desde el aluminio hasta el oro. Véase la biografía de Henry Moseley para conocer la importancia histórica de esta ley, que se derivó empíricamente aproximadamente al mismo tiempo que se explicaba mediante el modelo atómico de Bohr.

Para otras transiciones espectrales en átomos multielectrónicos, la fórmula de Rydberg generalmente proporciona resultados incorrectos , ya que la magnitud del apantallamiento de los electrones internos para las transiciones de electrones externos es variable y no es posible compensarla de la manera simple anterior. La corrección de la fórmula de Rydberg para estos átomos se conoce como defecto cuántico .

Ver también

• serie balmer
• linea de hidrogeno
• Principio de combinación Rydberg-Ritz
• átomo de bohr
• Modelo de Bohr-Sommerfeld

Referencias

1. Ver:
   • Rydberg, JR (1889). "Researches sur la constitution des specters d'émission des éléments chimiques" [Investigaciones sobre la composición de los espectros de emisión de elementos químicos]. Kongliga Svenska Vetenskaps-Akademiens Handlingar [Actas de la Real Academia Sueca de Ciencias] . 2da serie (en francés). 23 (11): 1–177.
   • Resumen en inglés: Rydberg, JR (1890). "Sobre la estructura de los espectros lineales de los elementos químicos". Revista Filosófica . 5ta serie. 29 : 331–337.
2. Whittaker, Edmund T. (1989). Una historia de las teorías del éter y la electricidad. 2: Las teorías modernas, 1900-1926 (Repr ed.). Nueva York: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3.
3. Bohr, N. (1985). "El descubrimiento de Rydberg de las leyes espectrales". En Kalckar, J. (ed.). Obras completas . vol. 10. Ámsterdam: Publ. de Holanda Septentrional. Cy. págs. 373–379.
4. Ritz, W. (1908). "Magnetische Atomfelder und Serienspektren" [Los campos magnéticos de los átomos y las series espectrales]. Annalen der Physik (en alemán). 330 (4): 660–696. Código bibliográfico : 1908AnP...330..660R. doi : 10.1002/andp.19083300403.
5. Bohr, N. (1 de julio de 1913). "I. Sobre la constitución de átomos y moléculas". Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín . 26 (151): 1–25. Código bibliográfico : 1913PMag...26....1B. doi :10.1080/14786441308634955. ISSN  1941-5982.

• Sutton, Mike (julio de 2004). "Acertar con los números: la lucha solitaria del físico y químico del siglo XIX Johannes Rydberg". Mundo de la Química . 1 (7): 38–41. ISSN  1473-7604.
• Martinson, I.; Curtis, LJ (2005). "Janne Rydberg: su vida y obra". Instrumentos y métodos nucleares en la investigación en física Sección B. 235 (1–4): 17–22. Código Bib : 2005NIMPB.235...17M. CiteSeerX  10.1.1.602.6210 . doi :10.1016/j.nimb.2005.03.137.