En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un morfismo cero es un tipo especial de morfismo que exhibe propiedades como los morfismos hacia y desde un objeto cero .
Supongamos que C es una categoría y f : X → Y es un morfismo en C . El morfismo f se llama morfismo constante (o a veces morfismo de cero izquierdo ) si para cualquier objeto W en C y cualquier g , h : W → X , fg = fh . Dualmente, f se llama morfismo coconstante (o, a veces, morfismo cero derecho ) si para cualquier objeto Z en C y cualquier g , h : Y → Z , gf = hf . Un morfismo cero es aquel que es a la vez un morfismo constante y un morfismo constante.
Una categoría con cero morfismos es aquella en la que, por cada dos objetos A y B en C , hay un morfismo fijo 0 AB : A → B , y esta colección de morfismos es tal que para todos los objetos X , Y , Z en C y todos los morfismos f : Y → Z , g : X → Y , el siguiente diagrama conmuta:
Los morfismos 0 XY necesariamente son morfismos cero y forman un sistema compatible de morfismos cero.
Si C es una categoría con cero morfismos, entonces la colección de 0 XY es única. [1]
Esta forma de definir un "morfismo cero" y la frase "una categoría con cero morfismos" por separado es desafortunada, pero si cada hom-set tiene un "morfismo cero", entonces la categoría "tiene cero morfismos".
Si C tiene un objeto cero 0 , dados dos objetos X e Y en C , existen morfismos canónicos f : X → 0 y g : 0 → Y. Entonces, gf es un morfismo cero en Mor C ( X , Y ). Así, cada categoría con un objeto cero es una categoría con cero morfismos dados por la composición 0 XY : X → 0 → Y .
Si una categoría tiene cero morfismos, entonces se pueden definir las nociones de núcleo y cokernel para cualquier morfismo en esa categoría.