Problema del momento de Stieltjes

En matemáticas , el problema del momento de Stieltjes , llamado así por Thomas Joannes Stieltjes , busca condiciones necesarias y suficientes para que una secuencia ( m ₀ , m ₁ , m ₂ , ...) tenga la forma

${\displaystyle m_{n}=\int _{0}^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$

para alguna medida μ . Si tal función μ existe, uno se pregunta si es única.

La diferencia esencial entre este y otros problemas de momento bien conocidos es que este se encuentra en una semirrecta [0, ∞), mientras que en el problema del momento de Hausdorff se considera un intervalo acotado [0, 1], y en el problema del momento de Hamburger se considera la recta completa (−∞, ∞).

Existencia

Dejar

${\displaystyle \Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right]}$

sea ​​una matriz de Hankel , y

${\displaystyle \Delta _{n}^{(1)}=\left[{\begin{matrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\m_{3}&m_{4}&m_{5}&\cdots &m_{n+3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n+1}&m_{n+2}&m_{n+3}&\cdots &m_{2n+1}\end{matrix}}\right].}$

Entonces {  m _n  :  n  = 1, 2, 3, ... } es una secuencia de momentos de cierta medida con soporte infinito si y solo si para todo n , ambos ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \det(\Delta _{n})>0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)>0.}$

{  m _n  :  n  = 1, 2, 3, ... } es una secuencia de momentos de alguna medida en con soporte finito de tamaño m si y solo si para todos , ambos ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle n\leq m}$

${\displaystyle \det(\Delta _{n})>0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)>0}$

y para todos los más grandes ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \det(\Delta _{n})=0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)=0.}$

Unicidad

Existen varias condiciones suficientes para la unicidad, por ejemplo, la condición de Carleman , que establece que la solución es única si

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}m_{n}^{-1/(2n)}=\infty ~.}$

Referencias

• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Análisis de Fourier, autoadjunción , Métodos de física matemática moderna, vol. 2, Academic Press, pág. 341 (ejercicio 25), ISBN 0-12-585002-6