Nacido en Sídney, es recordado por ser el último jugador amateur en ganar el Abierto de Australia en 1968, antes de que el torneo abriera sus puertas a los jugadores profesionales en 1969.

A pesar de que ese año se instauró en el tenis la participación de profesionales en los torneos, la federación australiana (una institución muy conservadora) decidió seguir con el amateurismo, por lo que los grandes jugadores de la época como Santana, Emerson, Newcombe o Roche no participaron.

En 1968 formó parte del equipo australiano de Copa Davis que perdió en la final ante Estados Unidos en Adelaida.

Bowrey consiguió el único punto para Australia al derrotar a Arthur Ashe aunque la serie ya estaba definida.

Ese mismo año se casó con la tenista australiana Lesley Turner quien forma parte del Salón Internacional de la Fama del tenis.