Salemme comenzó su carrera en el teatro napolitano en 1976, actuando con la compañía de Tato Russo.

[2]​[1]​ En la década de 1990, Salemme empezó a escribir y producir sus propias obras cómicas, cosechando un gran éxito con E fuori nevica.

[3]​ Debutó en el cine en la primera mitad de la década de 1980 como actor de carácter en tres películas de Nanni Moretti; tras participar en otras cuatro películas entre 1990 y 1996, debido a su creciente popularidad sobre los escenarios, en 1998 escribió, dirigió y protagonizó la comedia cinematográfica L'amico del cuore, que obtuvo un considerable éxito comercial.

[3]​ En los años siguientes, Salemme alternó sus proyectos personales, en el teatro y en la gran pantalla, y papeles protagonistas en películas de otros directores, generalmente comedias.

[3]​ Salemme también fue protagonista de algunos programas de televisión emitidos por RAI: Famiglia Salemme Show (2006), Da Nord a Sud... e ho detto tutto!