[2]​ Se encuentra afiliada a la entidad nacional Unión Argentina de Rugby.

La URC en su escudo presenta un guanaco sobre tres franjas horizontales; roja, azul y celeste comenzando desde arriba.

La URC ha participado en variados encuentros, torneos y campeonatos de Rugby XV y Rugby 7 con seleccionados propios formado por jugadores y jugadoras de sus clubes afiliados.

El equipo mayor obtuvo el Campeonato Argentino en 2004, derrotando Nordeste (43-10), Salta (41-17), Rosario (41-32) y Córdoba (30-12), cayendo sólo ante Buenos Aires por 26 a 24.

El primer Seven de la República organizado en la tradicional sede de “El Plumazo” en Paraná (1988), fue ganado por el equipo cuyano, que repetiría en 2007 y 2016.