Más adelante se presenta una variedad de formulaciones algebraicas para determinar este punto 3D.
Entonces el problema se replantea en la determinación del punto 3D óptimo que mejor encaje con las mediciones.
Sólo se cruzan las líneas que satisfacen la restricción epipolar definido por la matriz esencial o fundamental.
Dado el ruido inherente a la medición y determinación de los puntos proyectados
, la restricción epipolar no se satisface nunca o eventualmente sólo de manera casual e irrelevante.
Esta observación conduce al problema que debe resolver la triangulación.
Los métodos presentan resultados diferentes sólo cuando la restricción epipolar no se satisface.
son las coordenadas homogéneas de los puntos 2D detectados sobre la imagen y
arroja un valor proporcional a x, pues está expresado en coordenadas homogéneas.
Antes de abordar los métodos concretos, conviene atender algunos conceptos generales.
Un punto de esa recta no se puede triangular, el sistema queda indeterminado.
Los métodos de triangulación ideales tienen solución en forma cerrada con interés teórico y académico solamente, pues fallan al llevarlos a la práctica.
Los métodos de triangulación reales asumen que los rayos proyectivos son alabeados (es decir, no se cruzan) y denominan error a la distancia entre las proyecciones medidas y las reproyecciones (las proyecciones del punto 3D triangulado).
Los métodos de triangulación reales calculan el punto 3D que minimice ese error.
La principal diferencia entre los diversos métodos radica en la forma en que se evalúa el error.
Ante esta situación se han propuesto otras formulaciones de la función error que simplifican el análisis matemático a costa de producir una triangulación menos certera.
es sólo una representación matemática de una computación que suele ser relativamente compleja.
Esto implica que la complejidad computacional y el tiempo de cómputo varía fuertemente entre los diversos métodos.
Algunos métodos usuales de triangulación para aplicar en casos reales: Cada proyección
tiene una recta proyectiva asociada (líneas azules en la imagen de la izquierda arriba), aquí denotadas
la función de distancia entre una línea L1' y un punto 3D x tal que El método del punto medio determina xest que minimiza Como resultado xest se encuentra exactamente en el medio del segmento de línea más corto que une las dos líneas de proyección.
Éste es un método simple pero con malos resultados, pues el punto medio no guarda relación con los errores de mediciónː el punto medio no minimiza el error.
La solución trivial no resulta útil, hay varios métodos para obtener el punto x de esta ecuación.
Siendo u la expresión homogénea de la proyección en una imagen del punto 3D x (también en coordenadas homogéneas)ː
Plantea la restricción de coordenada homogénea normal (es decir, su 4º elemento es 1)ː
Con esta restricción el sistema de ecuaciones se reescribe con 4 ecuaciones y 3 incógnitas, sobredeterminado e incompatible, con la solución corresponde a x que minimiza ||Ax||, y que se resuelve mediante pseudoinversa o por descomposición en valores singulares.
xest es aquel que minimiza la función de error cuadrático medio.
Los mínimos y máximos de esta función se hallan donde su derivada es cero.
La función derivada es un polinomio de orden 6º cuyas raíces no se pueden obtener analíticamente.
En algunos casos se prefieren métodos subóptimos pero más eficientes computacionalmente.