Es una ordenación triangular de números enteros impares que utilizó Fibonacci para demostrar la identidad
+ n
[1] Fibonacci observó que cada k-ésima fila es una progresión aritmética cuyo valor medio es k².
Por consiguiente, la suma de los k términos de la k-ésima fila es k ·k² = k³.
La suma S de las primeras n filas consecutivas es
n
Además Fibonacci conocía un resultado que la leyenda atribuye a Pitágoras: la suma de los primeros m enteros impares es igual a m².
De esta forma
+ n
porque en las primeras k filas hay 1 + 2 + 3 + ... + k números enteros impares.
[2] Conocemos la identidad
+ n =
n
+ n
, que se demuestra por inducción matemática en los cursos elementales de álgebra.
También sabemos que
n
n
La suma de cubos de números enteros hasta un valor arbitrario n-1 es
Evidentemente
La primera identidad deducida nos dice, entonces, que todo cubo es una diferencia de cuadrados, los cuadrados de dos números triangulares consecutivos cuyos órdenes son la raíz cúbica del cubo y ésta menos la unidad.
La segunda identidad es una generalización de verificación inmediata:
2 j − 1
j
j − 1
j
j − 1
{\displaystyle n^{2j-1}=\left({\frac {n^{j}+n^{j-1}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {n^{j}-n^{j-1}}{2}}\right)^{2}}
Cualquier potencia de exponente impar puede escribirse como una diferencia de cuadrados.
Aunque originalmente estas consideraciones fueron efectuadas para números enteros, las identidades deducidas valen en el campo real.