[2] A diferencia de los criterios de convergencia más potentes, el test del término no puede demostrar por sí solo que una serie converge.
En particular, la inversa del test no es verdadera; todo lo que es posible afirmar es que: La serie armónica es un ejemplo clásico de una serie divergente cuyos términos tienden a cero.
[3] La serie del tipo p, ejemplifica los posibles resultados del test: El test por lo general se demuestra en su forma contrapositiva: Si sn son las sumas parciales de la serie, entonces la suposición de que la serie converge implica que para algún número s. Entonces[4] La suposición que la serie es convergente significa que satisface el test de convergencia de Cauchy: para cada
Haciendo p = 1 se obtiene la definición inicial[5] La versión más simple del test del término es aplicable a las series infinitas de números reales.
Las dos demostraciones indicadas previamente, al basarse en el criterio de Cauchy o la linealidad del límite, son por lo tanto válidas también en todo espacio vectorial normado.