A menudo se le llama el segundo teorema en la teoría de valores extremos.
A diferencia del primer teorema (el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko), que se refiere al máximo de una muestra, el teorema de Pickands-Balkema-De Haan describe los valores por encima de un umbral.
El teorema debe su nombre a los matemáticos James Pickands, Guus Balkema y Laurens de Haan.
Para una función de distribución desconocida
, el teorema de Pickands-Balkema-De Haan describe la función de distribución condicional
Esta es la llamada función de distribución condicional del exceso de distribución, definida como
es el extremo derecho finito o infinito de la distribución subyacente
describe la distribución del valor excedente sobre un umbral
, dado que se supera el umbral.
la función de distribución condicional del exceso.
Pickands,[1] Balkema y De Haan [2] planteó que para una gran clase de funciones de distribución subyacentes
se aproxima bien por la distribución generalizada de Pareto, en el siguiente sentido.
Supongamos que existen funciones
convergen a una distribución no degenerada, entonces dicho límite es igual a la distribución generalizada de Pareto:
Estos casos especiales también se conocen como: La clase de funciones de distribución subyacentes
satisfacen el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko.
El teorema se ha extendido para incluir una gama más amplia de distribuciones.
[3][4] Mientras que las versiones extendidas cubren, por ejemplo, las distribuciones normal y log-normal, las distribuciones siguen siendo continuas existen que no están cubiertos.