Teorema de Kirszbraun

En matemáticas, específicamente análisis real y análisis funcional, el teorema de Kirszbraun establece que si U es un subconjunto de algún espacio de Hilbert H1, y H2 es otro espacio de Hilbert, y es un mapa continuo de Lipschitz, entonces hay un mapa continuo de Lipschitz que extiende f y tiene la misma constante de Lipschitz que f. Téngase en cuenta que este resultado en particular se aplica a los espacios euclídeos En y Em, y fue de esta forma que Kirszbraun formuló y demostró originalmente el teorema.[1]​ La versión para espacios de Hilbert se puede encontrar, por ejemplo, en (Schwartz 1969, p.[2]​ Si H1 es un espacio separable (en particular, si es un espacio euclidiano) el resultado es cierto en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel; para el caso completamente general, parece necesitar alguna forma del axioma de elección; el teorema ideal primero de Boole es conocido por ser suficiente.Por ejemplo, es posible construir contraejemplos donde el dominio es un subconjunto de Rn con la norma máxima y Rm lleva la norma euclidiana.[4]​ De manera más general, el teorema falla para[2]​ Para una función con valor R, la extensión es proporcionada porEl teorema fue probado por Mojżesz David Kirszbraun, y más tarde fue probado de nuevo por Frederick Valentine,[5]​ quien lo demostró por primera vez para el plano euclidiano.