Cookson nació en Sussex Occidental, Inglaterra, Reino Unido.

Interpretó el papel de Grace Mohune en la serie de televisión Moonfleet en 2013, y como Roxy en la película Kingsman: El servicio secreto en 2015.

En 2017 con Kingsman: el círculo dorado retomó su papel como Roxy.

[2]​ En el 2017 conoció al actor Stephen Campbell Moore en el set de Red Joan.

Según los informes, Cookson y Moore comenzaron a salir en noviembre de 2018.