Solución débil

Evitando el lenguaje de las distribuciones, comenzando con una ecuación diferencial y reescribirla de forma tal que no se muestren en la ecuación las derivadas de la solución (esta nueva forma se denomina formulación débil, y sus soluciones se denominan soluciones débiles).Asumiendo que u es continuamente diferenciable sobre el espacio euclídeo R2, multiplicando esta ecuación (1) por una función suave φ de soporte compacto, e integrando.se obtiene: Usando el teorema de Fubini el cual permite intercambiar el orden de integración, e integrando por partes (en t para el primer término y en x para el segundo término) esta ecuación se vuelve (Nótese que mientras las integrales van de −∞ a ∞, las integrales están esencialmente en un marco finito, ya que φ tiene un soporte compacto.Es esta observación la que también permite la integración por partes sin las introducción de términos con límites.)La clave del concepto de solución débil es que existen funciones u que satisfacen la ecuación (2) para cualquier φ, y tal u puede ser no diferenciable y así, no satisfacer la ecuación (1).