Una serie xn se denomina hipergeométrica si la relación de los términos sucesivos xn+1/ xn es una función racional de n. Si la razón de términos sucesivos es una función racional de qn, entonces la serie se denomina serie hipergeométrica básica.
fue considerada por primera vez por Eduard Heine en 1846.
Hay dos formas de series hipergeométricas básicas, la serie hipergeométrica básica unilateral φ, y la serie hipergeométrica básica bilateral más general ψ.
La serie hipergeométrica básica unilateral se define como donde y es el símbolo q-Pochhammer.
El caso especial más importante es cuando j = k + 1, que se convierte en Esta serie se llama balanceada si a1 ... ak + 1 = b1 ...bkq.
La serie hipergeométrica básica unilateral es un q-análogo de la serie hipergeométrica ya que se cumple (Koekoek y Swarttouw (1996)).
La serie hipergeométrica básica bilateral, correspondiente a la serie hipergeométrica bilateral, se define como El caso especial más importante es cuando j = k, puesto que se convierte en La serie unilateral puede obtenerse como un caso especial de la bilateral igualando una de las variables b a q, al menos cuando ninguna de las variables a es potencia de q, ya que todos los términos con n < 0 desaparecen.
Algunas expresiones de series simples son , y El teorema q-binomial (publicado la primera vez en 1811 por Heinrich August Rothe)[1][2] establece que la cual se se obtiene aplicando repetidamente la identidad El caso especial de a = 0 está íntimamente relacionado con la q-exponencial.
[3] Srinivasa Ramanujan dio la identidad válida para |q| < 1 y |b/a| < |z| < 1.
se encuentran a la izquierda del contorno y los polos restantes se encuentran a la derecha.
Esta integral de contorno da una continuación analítica de la función hipergeométrica básica en z. La función hipergeométrica básica matricial se puede definir de la siguiente manera: El criterio del cociente muestra que esta función matricial es absolutamente convergente.