Hijo de un inmigrante judío ruso, aprendió en su provincia natal las difíciles condiciones del campesinado a principios del siglo XX, que supo reflejar posteriormente en sus dramas junto a la turbulenta política caudillista de la época, rompiendo con la superficialidad del criollismo de entonces.

A partir de 1940 empieza su segunda época dramática, siempre centrándose en un análisis ibseniano de la inmigración europea a la Argentina, con influjos de Strindberg y Chejov, evolucionando hacia un teatro en que dominan más los aspectos introspectivos que los sociales, a causa del interés que empieza a ofrecerle el psicoanálisis y la obra de autores como Henri Lenormand y Eugene O'Neill: Cuando tengas un hijo (1929), Señorita (1930), Soledad es tu nombre (1932), En tu vida estoy yo (1934), El gato y su selva (1936) y Pájaro de barro (1940).

Ejerció también el trabajo de guionista cinematográfico con obras como El pendiente o Arrabalera.

Eichelbaum, que se definía como “un maniático de la introspección”, creó a lo largo de medio siglo de carrera dramática una obra donde los personajes solitarios y atormentados eran la regla general, siempre fiel a su afán experimentador y a su creencia de que el teatro es ante todo un “drama interior” producido por crisis morales conscientes o inconscientes y que la poesía dramática se nutre esencialmente de la psicología.

Se le considera habitualmente uno de los cuatro mejores autores dramáticos argentinos de su época, junto a Roberto Arlt, Conrado Nalé Roxlo y Armando Discépolo.