Problema del ángel
En cada turno, el ángel salta a otra casilla vacía, la cual podría ser alcanzada por un máximo de k movimientos correspondientes a los del rey en ajedrez; es decir, la distancia a partir de la casilla inicial no es mayor que k con la norma infinito).
El ángel puede saltar sobre casillas bloqueadas, pero no puede terminar su turno en ellas.
Debe existir una estrategia ganadora para uno de los jugadores.
Si el diablo puede forzar una victoria, entonces puede hacerlo en un número finito de movimientos.
Si el diablo no puede forzar una victoria, entonces siempre hay un movimiento que el ángel puede hacer para evitar perder, y una estrategia ganadora para él sería escoger siempre este movimiento.
A un nivel más abstracto, el "conjunto de ganancias" (es decir, el conjunto de todas los juegos en los que el ángel gana) es un conjunto cerrado (en la topología natural de los conjuntos de todos los juegos), y se sabe que estos juegos son determinados.
Conway ofreció una recompensa por una solución general a este problema (100 dólares para una estrategia ganadora con un ángel de poder suficientemente alto, y 1000 dólares para una demostración de que el diablo puede ganar cualquiera que sea el poder del ángel).
Se progresó primero en dimensiones mayores que 2, con algunas bellas demostraciones.
A finales de 2006, el problema se resolvió cuando aparecieron demostraciones independientes, probando que un ángel puede ganar.
En dos dimensiones, los primeros resultados parciales incluyeron: En tres dimensiones, se demostró que: Por último, en 2006, no mucho después de la publicación del libro de Peter Winkler Mathematical Puzzles (Rompecabezas matemáticos), el cual contribuyó a la difusión del problema del ángel, surgieron cuatro demostraciones independientes y casi simultáneas de que el ángel tiene una estrategia ganadora en dos dimensiones.
de Péter Gács solo funciona para una constante mucho mayor.
Las demostraciones de Bowditch y de Mathé han sido publicadas en Combinatorics, Probability and Computing (Combinatoria, Probabilidad y Computación, editado por Béla Bollobás e Imre Leader).
Para cada cubo de cualquier tamaño, hay un guardián que lo vigila.
Nota: El camino del ángel en un subcubo dado no se determina hasta que el ángel llega al cubo.
Esta demostración es de Imre Líder y Béla Bollobás.
[7] Máthé[3] define el diablo bueno, que nunca destruye una casilla que el ángel pudiera haber elegido ocupar en un turno anterior.
En términos generales, en la parte (2), el ángel gana contra el diablo bueno pretendiendo que todo el semiplano izquierdo está destruido (además de las casillas destruidas por el diablo bueno), y tratando a las casillas destruidas como las paredes de un laberinto, del cual sale por medio de la técnica de la mano en la pared.
La demostración de la parte (1) es por reducción al absurdo y, por tanto, no proporciona ninguna estrategia ganadora explícita contra el verdadero diablo.
Sin embargo, Máthé hace notar que su demostración podría, en principio, ser adaptada para dar una estrategia explícita.
esté bien definida, debe comenzar y terminar en el punto final de
