Ecuación de Poisson

En matemática y física, la ecuación de Poisson es una ecuación en derivadas parciales con un amplio uso en electrostática, ingeniería mecánica y física teórica.Se debe al matemático, geómetra y físico francés Siméon-Denis Poisson, que la publicó en 1812 como corrección de la ecuación diferencial parcial de segundo orden de Laplace para la energía potencial.[1]​ La ecuación de Poisson se define como:φ = fes el operador laplaciano, y f yson funciones reales o complejas.En un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, toma la forma:φ ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) .{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}, la ecuación se convierte en la ecuación de LaplaceLa ecuación de Poisson junto con las condiciones de contorno homogéneas, constituye uno de los tres problemas clásicos relacionados con el operador laplaciano que se detallan a continuación.Concretamente, el problema de Poisson es el problema de encontrar una funcióndefinida sobre el dominioque satisfaga: (1)Este tipo de problema puede ser resuelto de manera sencilla, mediante el método de la función de Green, para n > 2:La ecuación anterior aparece en problemas electrostáticos y de potencial gravitatorio.En esos problemas, ρ representa la densidad de carga eléctrica o bien la densidad de masa.Además la constante cn debe ser tomada 1/ε0 para problemas electrostáticos (en SI), mientras que en problemas de potencial gravitatorio se toma como cn = 4π G. El problema de Dirichlet es un problema de encontrar una función armónica sobre un dominiotal que sea igual a otra función dada sobre el contorno de tal dominio: (2)En electrostática, el problema de Dirichlet se corresponde con el problema de encontrar el campo dentro de una cavidad metálica "conectada a tierra" (potencial constante) de formadentro de la cual hay una distribución de carga dada porExiste un medio para reducir el problema de Dirichlet a un problema de Poisson.{\displaystyle f({\bar {\mathbf {x} }})}es una función de clase C1 sobre la frontera del dominio yes una extensión dea todo el dominioque sea de clase C2, es decir:Entonces la solución del problema de Dirichlet (2) viene dada por una función suma de la extensión anterior y otra función que es solución de un problema de Poisson como (1):{\displaystyle \Delta \varphi _{1}(\mathbf {x} )=-c_{n}{\tilde {\rho }}\qquad {\tilde {\rho }}:={\frac {\Delta {\tilde {f}}}{c_{n}}}\qquad \varphi _{1}({\bar {\mathbf {x} }})=0}El problema de Neumann es similar al anterior, pero en lugar de fijar el valor de la función incógnita sobre la frontera, fija el valor de la derivada perpendicularmente a la superficie.