Principio de Millman
El teorema o principio de Millman (llamado así en honor al electrónico ruso Jacob Millman) es utilizado para obtener directamente la diferencia de potencial entre los extremos de un circuito eléctrico.
Resulta indicado cuando se tiene sólo dos nodos, o lo que es lo mismo, varias ramas en paralelo.
En concreto, establece que: En un circuito eléctrico de ramas en paralelo, cada una compuesta por una fuente de tensión ideal en serie con un elemento lineal, la tensión en los terminales de las ramas es igual a la suma de las fuerzas electromotrices multiplicadas por la admitancia de la rama dividido por la suma de las admitancias.
Esto mismo, formalmente:
m
n
{\displaystyle V_{m}={{{{F_{1}} \over {R_{1}}}+{{F_{2}} \over {R_{2}}}+{{F_{3}} \over {R_{3}}}+...+{{F_{n}} \over {R_{n}}}} \over {{1 \over {R_{1}}}+{1 \over {R_{2}}}+{1 \over {R_{3}}}+...+{1 \over {R_{n}}}}}={\frac {\sum _{k=1}^{N}F_{k}.G_{k}}{\sum _{k=1}^{N}G_{k}}}={\frac {\sum _{k=1}^{N}{\frac {F_{k}}{R_{k}}}}{\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{R_{k}}}}}}
Donde F es la fuente de tensión o de corriente según sea el caso y G, es la conductancia.
Observación: Para propósitos del cálculo, el valor de la fuente de tensión o de corriente es igual a cero en una rama que consiste en nada más que una resistencia.
Considerando el esquema del circuito que aparece en la figura: Como las ramas (Zk; Ek) están en paralelo, se trabaja con las admitancias
y las transformaciones Thévenin -> Norton :
(convención generador) Para cada rama (fuente de tensión e impedancia), se obtiene, a partir de la Ley de Ohm:
m
{\displaystyle I_{k}=Y_{k}\cdot (V_{m}-E_{k})}
A continuación, a partir de la Ley de Kirchhoff, tenemos:
{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}I_{k}=0}
m
{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}Y_{k}\cdot (V_{m}-E_{k})=0}
Y desarrollando...
m
{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}Y_{k}\cdot V_{m}=\sum _{k=1}^{N}Y_{k}\cdot E_{k}}
m
{\displaystyle V_{m}={\frac {\sum _{k=1}^{N}E_{k}\cdot Y_{k}}{\sum _{k=1}^{N}Y_{k}}}={\frac {\sum _{k=1}^{N}{\frac {E_{k}}{Z_{k}}}}{\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{Z_{k}}}}}}
a b
{\displaystyle V_{ab}={\frac {\sum I}{\sum {\frac {1}{R}}}}}
{\displaystyle {\frac {1}{R}}}
se conoce también como conductancia)
Ejemplo práctico
{\displaystyle V_{AB}={\frac {-{\frac {30V}{10\Omega +1\Omega }}-{\frac {50V}{6\Omega +4\Omega }}+{0}}{{\frac {1}{10\Omega +1\Omega }}+{\frac {1}{6\Omega +4\Omega }}+{\frac {1}{8\Omega }}}}=-24.46V}
El signo - indica que la polaridad real de la tensión va de B(+) a A(-) por lo que VBA = 24.46V.
