En topología diferencial, dados dos campos de vectores diferenciables X e Y sobre una variedad M, se define el corchete de Lie de los campos X e Y, notado
como el único campo de vectores que cumple:
Su expresión en un sistema de coordenadas asociado una carta local
a lo largo de la dirección que marque un campo X.
Cuando T es un campo de vectores Y, recuperamos el corchete de Lie Esta última igualdad destaca que aunque el corchete sea R-bilineal, no es bilineal sobre las funciones diferenciables.
Como consecuencia, el corchete no tendrá carácter tensorial, es decir, el valor del vector
no solo dependerá del valor de los vectores
Como consecuencia inmediata de la antisimetría,
se les denomina coeficientes de estructura de la base {ek}.
Estos coeficientes no forman parte de un tensor.
En el caso especial en que la base esté asociada a un sistema de coordenadas {xa}, dado que los vectores básicos conmutan (
), los coeficientes de estructura serán nulos.
Las bases locales para las que se anulan estos coeficientes reciben el nombre de bases holónomas.
En un grupo de Lie G, considerado como variedad, podemos definir un conjunto particular de campos de vectores: los campos invariantes por la izquierda.
A este conjunto se le denomina álgebra de Lie de G. Dada una base