Palabra de Fibonacci
Una palabra de Fibonacci es una secuencia específica de dígitos binaria (o de dos símbolos distintos o dos letras de cualquier alfabeto).
Está formada por concatenación repetida, de la misma manera que la sucesión de Fibonacci se forma mediante la suma sucesiva de los dos términos anteriores.
[2] Es un ejemplo paradigmático de una palabra sturmiana, y en concreto, de una palabra mórfica.
El nombre "palabra de Fibonacci" también se ha utilizado para referirse a los miembros de un lenguaje formal L que consta de cadenas de ceros y unos sin unos sucesivos.
Cualquier prefijo de la palabra de Fibonacci específica pertenece a L, pero también lo hacen muchas otras cadenas.
(la concatenación de la secuencia anterior y la anterior a esta).
La palabra infinita de Fibonacci es el límite
, es decir, la secuencia infinita (única) que contiene cada
Los primeros elementos de la palabra infinita de Fibonacci son: 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, .. .
(sucesión A003849 en OEIS) El dígito nésimo de la palabra es
es la parte entera (sucesión A003849 en OEIS).
Alternativamente, puede imaginarse la generación directa de toda la palabra infinita de Fibonacci mediante el siguiente proceso: comiéncese con un cursor apuntando al dígito 0.
Luego, a cada paso, si el cursor apunta a un 0, agregar la pareja 1, 0 al final de la palabra, y si el cursor apunta a un 1, agregar un 0 al final de la palabra.
En cualquier caso, el ciclo se continúa el moviendo el cursor una posición hacia la derecha.
Una palabra infinita similar, a veces llamada secuencia del conejo,[3] se genera mediante un proceso infinito similar con una regla de reemplazo diferente: siempre que el cursor apunte a un 0, agregar un 1, y siempre que el cursor apunte a un 1, agregar la pareja 0, 1.
La secuencia resultante comienza con la forma Sin embargo, esta secuencia difiere de la palabra Fibonacci solo trivialmente, al intercambiar 0 por 1 y cambiar las posiciones en una posición.
La siguiente es una expresión cerrada para la llamada secuencia de conejo: El dígito nésimo de la palabra es
La palabra está relacionada con la famosa secuencia del mismo nombre (la sucesión de Fibonacci) en el sentido de que la suma de números enteros en forma recursiva se reemplaza por la concatenación de cadenas.
Esto hace que la longitud de Sn sea Fn + 2, el (n + 2) ésimo número de Fibonacci.
Además, el número de unos en Sn es Fn y el número de ceros en Sn es Fn + 1.
Las construcciones basadas en el procedimiento de Fibonacci se utilizan actualmente para modelar sistemas físicos con un orden aperiódico como los cuasicristales, y en este contexto la palabra de Fibonacci también se denomina cuasicristal de Fibonacci.
[13] Se han utilizado técnicas de crecimiento de cristales para cultivar cristales en capas de Fibonacci y estudiar sus propiedades de dispersión de la luz.
