[1]​ Asche se educó en el Laurel Lodge, en Dandenong y en la Melbourne Grammar School, que dejó a los 16 años.

Tras esta actividad, consiguió trabajo en una oficina, pero para entonces había decidido hacerse actor, por lo que empezó a realizar funciones privadas en su casa.

Después se unió a la compañía de Francis Robert Benson y durante ocho años fue ganando experiencia como actor.

Asche se casó con Lily Brayton, también miembro de la compañía, en 1898, y los dos fueron elegidos en muchas ocasiones para trabajar en las mismas obras.

En 1900 Asche actuó con la compañía Benson en el Teatro Lyceum de Londres, donde su actuación como Pistol en Enrique V y su Rey Claudio en Hamlet fueron alabados.

Tuvo otro éxito en el Teatro Garrick en 1901 cuando fue Maldonado en la obra de Arthur Wing Pinero Iris, su primer papel importante en la comedia moderna.

En ese mismo local fue en 1906 el Rey Mark en la pieza de Joseph Comyns Carr Tristram and Iseult, junto a Lily Brayton y Matheson Lang.

Acortó la obra y la reescribió parcialmente, la produjo e interpretó con éxito el papel de Hajj.

En 1922, Asche visitó nuevamente Australia, bajo contrato con J. C. Williamson, haciendo aplaudidas interpretaciones, entre ellas: como Hornblower en la obra de Galswortthy The Shin Game; como Maldonado en Iris, de Arthur Wing Pinero; sus personajes habituales en Chu Chin Chow y Cairo; el personaje del título en Julio César y otras obras shakespearianas.

Posteriormente intentó montar nuevos musicales, incluyendo The Good Old Days of England (1928), financiado por su mujer, pero el éxito le fue esquivo.

En 1933 hizo su última actuación con The Beggar’s Bowl, en el Teatro Duke of York.

Su obra Chu Chin Chow fue publicada en 1931, pero no lo fue el resto de su producción teatral.