Washington fue nominado a once Premios de la Academia entre 1940 y 1962.

Ganó el premio por Mejor Música Original en dos ocasiones: en 1940 para "When You Wish upon a Star" de Pinocho y en 1952 por "High Noon (Do Not Forsake Me, Oh My Darlin')" en A la hora señalada (en España Solo ante el peligro).

En 1934, fue contratado por la MGM y se trasladó a Hollywood, eventualmente escribiendo música para numerosos largometrajes.

Durante los años 40, trabajó en una serie de estudios, incluyendo Paramount, Warner Brothers, Disney y Republic.

Durante este período, colaboró con muchos de los grandes compositores de la época, incluidos Hoagy Carmichael, Victor Young, Max Steiner y Dimitri Tiomkin.