Una vez, mientras hablaba con su profesor Solomon Lefschetz, Peixoto le comentó que a nadie le importaba la estabilidad estructural de los sistemas dinámicos y que eso era el principal problema de trabajar.
En 1958 fueron al Congreso matemático internacional en Edimburgo, Escocia, donde Lefschetz introdujo a Peixoto al matemático ruso Lev Pontryagin cuyo trabajo sobre sistemas dinámicos fue utilizado por Peixoto como base para sus estudios.
Pontryagin, sin embargo, no mostró ningún interés en absoluto en la obra de Peixoto.
Gracias a su teorema, ganó el Premio de la Fundación Bunge en 1969.
Según la Fundación Bunge, "el teorema de Peixoto sobre la estabilidad estructural en las variedades bidimensionales inspiró al matemático S. Smale a crear la teoría general de los sistemas dinámicos".