A su muerte, Cuadrato y su hermana, Cornificia Faustina dividieron las propiedades de su madre, lo que los hizo muy ricos.

Después de su consulado en 167, Cuadrato adoptó al primer hijo del senador y filósofo Gneo Claudio Severo, quien luego asumió el nombre de Marco Claudio Ummidio Cuadrato.

Cuando Marco Aurelio murió en 180, el primo materno de Cuadrato, Cómodo, lo sucedió como emperador.

Además, se preocupaba mucho por el comportamiento y gobierno errático de Cómodo.

Lucila, su hija y Cornificia Faustina fueron desterradas a la isla italiana de Capri.